Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 724

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 718 719 720 721 722 723 < 724 > 725 726 727 728 729 730 .. 742 >> Следующая

k*-Pn(L)k + Qn(L) = О,
(6.3.7)
где
Рп {L) - аП + 022 - (Ас + Dy) Е(п), (6.3.8)
Qn (L) = DxDyE2n) - (А"22 + А,"п) ^(п) "t" аиа22 - а12а21- (6-3-9)
<з"а)=о.
(6.3.10)
РЛЬ) = О, Qn(L)> 0.
(6.3.11)
6.3. Нахождение точек ветвления
315
Значение которое удовлетворяет соотношению (6.3.10), не
'(П.)
зависит от га:
1.2 2 D
{^х<222 + Dyan ± [(Dxa22 + Dyan)2
4Z)xZ)y (апа22 flia^i)]^2}* (6.3.12)
Мы можем получить два, одно или ни одного значения Е*, для которых имеет
место вещественная бифуркация. После этого находим бифуркационную длину
/*
(я) I,:
ля
д/<2 '
если ?* > 0. Из последней формулы также следует, что
(6.3.13)
т* _"г* ^(я) "^(1)
(6.3.14)
для обеих групп бифуркационных длин (определяемых индексами 1 и 2 в
выражении (6.3.13)). Величину L*(l) называют эле-
<<1 л2 лз *4 <<0 5 10 В
Рис. 6.10. Бифуркационная диаграмма первичных бифуркаций; а) общая схема,
Ь) для задачи 11, А =2, Dx - 0,0016, Dy = 0,008; сплошные линии - Q = 0,
прерывистые - Р = 0.
ментарной бифуркационной длиной; остальные бифуркационные длины
оказываются кратными элементарным бифуркационным длинам.
Для значения L+, при котором имеет место комплексная бифуркация, из
соотношений (6.3.11) находим
rDx + Dvii/2
Ltn = 4^r+i\ • Q.(L<t,)>0. (6.3.15)
316
Глава 6
Формула (6.3.14) остается справедливой и в этом случае, т. е.
L(t) = "L(t). (6.3.16)
Условия существования бифуркационных длин в зависимости от величины
отношения Dx/Dy и коэффициентов о,у приведены, например, в работе [5.10].
Если построить графики зависимостей величин L* и L+ от другого параметра
задачи а, то мы получим бифуркационную диаграмму первичных бифуркаций.
Такого рода бифуркационная диаграмма представлена схематически на рис.
6.10а. При а < aj не существует какой-либо бифуркационной длины, при a е
(ai, a2)U (а3, а4) имеются два значения L*l} а при a е (a2, a3)U(a4> °°)
имеются два значения L*,) и одно значение L+y На рис. 6.10b эта диаграмма
изображена для задачи 11 (показаны также значения некоторых "кратных"
бифуркационных длин L^). Читатель может сравнить точки первичных
бифуркаций на рис. 6.3 и 6.4 со значениями L на рис. 6.10b.
6.3.2. Нахождение точек вещественной бифуркации
Рассмотрим теперь две группы методов нахождения точек вторичных
вещественных бифуркаций. (Эти методы, разумеется, пригодны и для
нахождения точек первичной бифуркации, однако для этого случая выше
описан более простой подход.) Первую группу составляют разностные методы,
тогда как методы второй группы основываются на методе стрельбы.
6.3.2.1. Разностные методы
Рассмотрим для простоты краевую задачу (6.2.1), (6.2.2). Необходимым
условием существования вещественной бифуркации является требование, чтобы
линеаризованное уравнение
б" _ dfjz, у уCQ _ у', а) й, = ( '
ду ду ' '
с граничными условиями
Oq6 (0) + bQ6' (0) = 0, at6 (1) + byb' (1) = 0 (6.3.18)
имело ненулевое решение. Если такое решение 6 (г) существует, то сб(г)
также будет решением. Чтобы выделить одно конкретное решение, нужно некое
условие нормировки. Одна из возможностей заключается в том, чтобы выбрать
6(0) =1
(6.3.19)
6.3. Нахождение точек ветвления
317
в случае, когда Ьо Ф 0. (Если Ьо - 0, то можно положить б'(0) = 1.)
Уравнения (6.2.1), (6.3.17) вместе с граничными условиями (6.2.2),
(6.3.18), (6.3.19) представляют собой нелинейную краевую задачу, число
условий в которой на единицу превышает порядок системы. Это, однако,
компенсируется тем, что параметр а мы рассматриваем в качестве
неизвестной; решив краевую задачу, мы получим значение а, отвечающее
вещественной бифуркации. Замена данной задачи соответствующими
разностными формулами приводит к системе нелинейных (алгебраических)
уравнений с почти ленточной схемой размещения (ленточный характер матрицы
нарушает столбец, который соответствует неизвестной а). Результаты так
проведенных расчетов для задачи 16 представлены в работе [6.10].
Другую возможность применения разностных методов можно продемонстрировать
при нахождении точек поворота в задаче 17!). Введем следующие
обозначения:
г <ЭF dG дН /с "
f~dk' s " dk ' h ~~ dk ' (6.3.20)
Продифференцировав уравнения (P17-16) - (P17-18) по переменной k, найдем
f" = д/Ri" (hF' + Hf') + Re (2Ff - 2Gg + 1), (6.3.21a)
g" = 2 Re (Fg + fG) + УМ/Я + G'h), (6.3.21b)
A' = -2 VRe~ f, (6.3.21c)
A (0) = / (0) = A (1) = f (1) = g (0) = 0, g(l) = S'(A). (6.3.21d)
В точке поворота (по параметру S) должно быть
-g- = 0, т. е. g(l) = 0. (6.3.22)
Таким образом мы получаем систему шести дифференциальных уравнений (Р17-
16), (Р17-17), (Р17-18), (6.3.21а), (6.3.21Ь), (6.3.21с) (имеющую
суммарно десятый порядок) и двенадцать граничных условий (Р17-19), (Р17-
20), (6.3.21 d), (6.3.22). На
Напомним, что в этой задаче: а) искомыми являются функции F(z). G(z),
H(z) и число К; б) в уравнение (Р17-16)-(Р17-18) входят два
(безразмерных) параметра - число Рейнольдса Re и отношение угловых
скоростей дисков S. Зафиксируем Re и будем искать "точку поворота" по
Предыдущая << 1 .. 718 719 720 721 722 723 < 724 > 725 726 727 728 729 730 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed