Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы разрешили проблему предиктора. В качестве корректора,
как и в § 5.2, можно использовать метод Ньютона, применяя его к системе
разностных уравнений (6.2.9), (6.2.10). При этом вновь необходимо
различать два случая. В первом из них выполнялось условие (6.2.31), и
тогда предиктор выбирался в соответствии с формулой (6.2.29), во
11 Речь идет о точке поворота по "исходному" параметру а. - Прим. ред. 2)
Имеется в виду кривая на диаграмме стационарных решений. -Прим.
ред.
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
301
втором - имела место противоположная ситуация. В первом случае мы решаем
уравнения (6.2.9), (6.2.10) при фиксированном (предсказанном) значении
параметра а; во втором случае- при фиксированном (предсказанном) значении
ро = р(0), а параметр ос считается неизвестным. Блок-схему предложенного
алгоритма продолжения типа "предиктор-корректор" читатель легко может
построить самостоятельно.
6.2.3.2. Алгоритм, основанный на методе стрельбы
Идею этого метода мы теперь продемонстрируем на примере задачи (6.1.1),
(6.1.2) с граничными условиями (6.1.4). Зададим снова два недостающих
начальных условия в точке г = 0 (см. (6.1.24)): x(0)=T|i, у(0) =112.
Интегрируя уравнения (6.1.1),
(6.1.2) с начальными условиями (6.1.4а), (6.1.24) при некотором
значении параметра L, мы должны получить в точке 2=1
Таким образом, у нас имеются два уравнения относительно трех неизвестных
тц, т)2, L. Для нахождения соответствующей кривой в пространстве
(т)1,т)2, L) мы можем использовать алгоритм DERPAR, описанный в § 5.2.
Для вычисления матрицы Якоби
используем вариационные переменные р*,, pyi, определяемые соотношениями
(6.1.26) - (6.1.28), а также переменные
для которых нетрудно получить следующие уравнения в вариациях:
Л(Ль %> L) = x'{\, ть L) = 0, }*2 (Ль Ц = У'( 1, П,
?) = 0.
(6.2.32)
Г dF 1 dF 1 dF, -1
дтц ' drj2 ' dL
dF2 dF2 dF2
(6.2.33)
L дтц ' drj2 ' dL
PxL = дх/dL, pyL = dyjdL,
(6.2.34)
с начальными условиями
PXL (0) = p'xL (0) = PyL (0) = p'yL (0) = 0. (6.2.36)
302
Глава 6
Частные производные в уравнении (6.2.33) задаются формулами (6.1.29), а
также соотношениями
%T = PU( О, Ж~Рй<Ц. (6.2.37)
Таким образом, мы имеем все необходимое для использования алгоритма
продолжения DERPAR (см. п. 5.2.3): можем вычислить функции Fi и Р2 по
формулам (6.2.32), а также матрицу Якоби (6.2.33). Для одного такого
вычисления нам необходимо решить задачу Коши для восьми дифференциальных
уравнений второго порядка (6.1.1), (6.1.2), (6.1.27) и (6.2.35), т. е.
для системы 16-го порядка.
В случае ГУ1 алгоритм изменяется в соответствии с формулами (6.1.30),
(6.1.31), (6.1.32); при этом частные производные, входящие в матрицу
Якоби (6.2.33), имеют вид
<5^1 " /1\ dFt ... dF:
дтц Р* 1 ( )' дц2 Рх2 ( ) ' ~дТГ Р*?.(1).
Л яг (6.2.38)
дго /1\ Ur о /1\ дго /1\
-^¦ = Pffl(l), ~д^ = Ру2 (О. -^27=Руь(1)-
Приведенный подход, основанный на методе стрельбы и вариационных
дифференциальных уравнениях, называется в литературе методом GPM [6.8,
6.13, 6.14].
Диаграмма решений, найденная с помощью метода стрельбы и алгоритма
продолжения DERPAR для задачи 11 в случае ГУ2, представлена на рис. 6.3
[6.15]. Здесь же приведены решения, полученные с помощью
"суммирования" (профилей) решений
(см. формулу (4.3.17)). Для некоторых ветвей указана устой-
чивость соответствующих решений. Из рисунка видно, что при больших L
существует значительное число различных стационарных решений. Попробуем
оценить это число. Рассмотрим ветвь элементарных решений, т. е. решений,
которые не могут быть получены путем "сложения" решений с меньшими L.
Пусть такая ветвь существует при Le (Li, Li + ALi). Если мы выберем
максимально широкие промежутки существования, то тогда Li и Lj + AL;
представляют собой координаты точек бифуркации. Фиксируем теперь длину L
и исследуем, сколько различных решений, полученных "сложением" из решений
этой ветви, будет существовать для такого L. Это число равняется разности
"'-И-кта:]- (6'2'39)
где квадратные скобки означают целую часть заключенного в них отношения.
Если теперь взять все известные ветви элементарных решений, то общее
число различных решений для
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
303
длины L будет равно
N=1 + Znu (6.2.40)
i
где единица представляет собой (при всех L) существующее тривиальное
решение х = А, у^В/А. Эти рассуждения остаются справедливыми для любых
систем типа "реакция-диффузия" с граничными условиями типа ГУ2. Если нам
известны не
Рис. 6.3. Диаграмма стационарных решений для задачи 11 при ГУ2, А = 2, В
= 4,6, Dx - 0,0016, Dy = 0,008, тц = х(0); s - устойчивые, n -
неустойчивые решения.
все ветви элементарных решений, то тогда выражение (6.2.40) дает нижнюю
оценку числа решений для данного L. Так, при L = 1 на основании рис. 6.3
мы находим, что существует минимум 35 стационарных решений задачи 11 для
случая ГУ2 (см. табл. 6.8 с учетом того, что существуют еще тривиальные
