Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
стационарных решений для распределенных систем. Там, где это окажется
более целесообразным, описание соответствующей методики будет проводиться
на примерах конкретных задач из гл. 4.
Отметим, что методы, изложенные в п. 6.2.1 и 6.2.2, могут использоваться
в качестве предиктора в схеме типа "предиктор-корректор", описанной в п.
6.2.3, аналогично тому, как это делалось в § 5.2.
6.2.1. Метод дифференцирования по параметру
Рассматриваемая здесь методика аналогична описанной в п. 5.2.2 для
конечномерных задач. Продемонстрируем здесь одну из возможных численных
реализаций этого метода на примере продолжения по параметру ос решения
краевой задачи для (одного) дифференциального уравнения второго порядка
(' - ¦ d/dz)
У"- f(z, у, у', а) = 0 (6.2.1)
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
293
<с граничными условиями
%У (0) + Ьоу' (0) = с0, а\У(\) + Ь1у'{\.) = с1.
(6.2.2а) (6.2.2Ь)
Подставив в уравнение (6.2.1) y - y(z,cc) и-дифференцируя по •а, мы
получаем уравнение
Предположим, что известно решение краевой задачи (6.2.1) - -(6.2.2) при а
= ао
Дифференциальное уравнение в частных производных ¦третьего порядка
(6.2.3) можно решать разностными методами, аналогично простейшим
уравнениям параболического типа (см. § 6.4). Выберем прямоугольную сетку
узловых точек (2г, а,), Zi = ih, г = 0,1, ..., п; а/ = ао + /&, / = 0,1,
..., и обозначим У[~У{гРа})- Простейшая разностная аппроксимация
уравнения (6.2.3) с использованием шеститочечной схемы имеет вид
Здесь f fу,, fa - соответствующие частные производные функции /,
вычисленные, например, для значений переменных yt на /-м (уже найденном)
"слое": так,
Используя подходящие разностные замены в граничных условиях (6.2.4) (см.
п. 6.1.1 и § 6.4), мы получаем, вместе с соот-аошением (6.2.6), систему
линейных алгебраических уравнений
dz2 да ду да ду' dz да да
д3у д1_дУ__ df д2У §!_ =о
(6.2.3)
"с граничными условиями вида
а0у (0, а) + Ьа ду(^ а)- = с0,
а{у(\, а) + Ьх ду(^^- = сх.
(6.2.4)
у (г, а0) = ф (z).
(6.2.5)
i= 1, 2, .. ., n- 1.
- df (2f, y\, (y'i+l - г/|_,)/2А, а,) 'У ду'
(6.2.7)
294
Глава 6
относительно неизвестных уj+x, у\+х, у!п+х (переменные-
с верхним индексом / нам известны). Матрица системы является
трехдиагональной, и поэтому мы можем воспользоваться: алгоритмом
исключения Гаусса, работающим только с ненулевыми элементами.
Поскольку разностная замена (6.2.6) центрирована относительно точки (i,
у+1/2), то уменьшения погрешностей аппроксимации можно достичь, заменяя
коэффициенты fy, fy" fa в этой, точке, т. е. вводя в соотношения (6.2.7)
аргументы
(_ у{ + у{+1 И+1 + ffJ+i-^-r-fffii а/ + "/+Л /COOV.
\Zi, 2 ' 4 h 2 )
В результате мы получаем систему нелинейных уравнений относительно
неизвестных с верхним индексом /+ 1, для решения которой можно
использовать какой-либо итерационный метод,, например, метод Ньютона.
Уравнение (6.2.3) можно также аппроксимировать методом прямых (см. §
6.4). Более подробный анализ метода дифференцирования по параметру можно
найти в книге [6.8].
Выше мы сначала проводили дифференцирование по параметру а, а затем
решали задачу численно (дискретизировали: ее). Обратный порядок действий
также возможен. Так, сначала' мы можем преобразовать задачу (6.2.1),
(6.2.2) с помощью соответствующих разностных формул, например, приводя ее
к виду
yj-i-tyj+yj+i "t+i-yt-i
ft2
f [г{, У и У<+12г'-' . a] = 0, (6.2.9)"
i = 0, 1, . . ., n,
= с,
0'
аоУо "t- {Уi y~i)/2h а\Уп + bi (yn+1 - yn-i)l2h = c1.
(6.2.10>
Переменные у-1 и y"+i можно найти из условий (6.2.10), а затем подставить
их в уравнение (6.2.9). К полученной таким образом системе n+ 1
нелинейных уравнений ft(yo,yi, •••> Уп)= 0,. г = 0,1, ..., п можно затем
применить метод п. 5.2.2. Интегрируя дифференциальные уравнения (5.2.8)
методом Эйлера, мы' получаем алгоритм, сходный с тем, который описывался
выше.
Точно так же, как и в случае задач конечной размерности, здесь метод
дифференцирования по параметру а не позволяет преодолевать точку поворота
на диаграмме решений. Метод, дифференцирования по длине дуги в том виде,
как он был описан в п. 5.2.2, позволяет спокойно проходить точку
поворота,.
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
295
хотя для задач типа (6.2.9) при большом п без преобразований, -
использующих специальные структуры матрицы Якоби, этот метод применять
невозможно. Использование указанного метода будет обсуждаться ниже, в п.
6.2.3, а также в связи с методом дифференцирования по граничному условию
(п. 6.2.2).
Продемонстрируем теперь применение метода дифференцирования по параметру
на примере задачи 16. В предыдущем пункте мы вывели уравнение (6.1.21),
которое можно представить в виде (6.2.1), полагая z = r и а = Ф. Если
теперь обозначить
р(,л г..п уР(1-у)
Е(У) ехр j _|_р (1 -у) '
-то уравнение (6.2.3) для (6.1.21) принимает вид
д3У I _! Jll ф2 Г1________vPy_____] Е ( ч ду_ _
дг*дФ ^ г дгдФ ^ L1 (1 + Р(1-</))2 J дФ
- 2Фу • Е (у) = 0. (6.2.11)
