Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Решения для последовательных значений Da
Da 4i Чг
0,05 0,06382 0,38987
0,063 0,08787 0,54198 0,97818 3,81826 0,99412 3,30132
0,08 0,12961 0,81376 0,65975 0,56212 0,99890 3,17394
0,1 0,22126 1,45190 0,45900 3,47824 0,99973 3,13205
0,12 0,99992 3,11272
6.1. Стационарные решения
287
При этом в уравнения входят также неизвестные функции (c)(z) и 0(z),
которые должны удовлетворять соотношениям (Р15-8) и (Р15-9). Для
практических вычислений вместо этих нелинейных (алгебраических)
соотношений более удобно использовать формулы (Р15-10) и (Р15-11). При
фиксированных значениях параметров /м, /н, Da, В, у и заданных значениях
функций y(z) и 0(z) уравнение (Р15-11) представляет собой при каждом z
нелинейное уравнение относительно неизвестной (c)(z). Решая уравнение (Р15-
11), мы находим значения (c)(z), после чего подставляя их в формулу (Р15-
10), вычисляем значения функции 0(z).
Используем для решения этой задачи метод стрельбы. Два недостающих
начальных условия опять выберем в точке z= 1 в форме (6.1.37). Затем
проинтегрируем уравнения (Р15-6), (Р15-7) с начальными условиями
(6.1.36Ь) и (6.1.37) на промежутке от z = 1 до z = 0. На каждом шаге
интегрирования нам необходимо вычислять правые части дифференциальных
уравнений, в которые наряду с параметрами и значениями функций у и 0,
входят также значения функций (c)| и 0. Эти значения определяются из формул
(Р15-11) и (Р15-10). После проведенного таким образом интегрирования,
когда на каждом шаге решается одно нелинейное уравнение, мы получаем в
точке z = 0 систему двух уравнений (6.1.38) относительно двух неизвестных
тр и г)2- Эта система может быть решена методом Ньютона с использованием
вариационных уравнений для переменных
РУ1=дУ1дл1/. Рег = <5в/<4-. * = 1, 2. (6.1.39)
Первое из этих уравнений имеет вид
Рух ~ РемР^1 + РемУм {-^-Рух + ЖР*х ~ Рух) = °- (6-1.40)
Из этого примера видно, что наряду с вариационными переменными,
определяемыми формулами (6.1.39), у нас возникают еще и другие переменные
да да дв дв ,.
W ~д@' ~ду' ( Л'41)
Значения этих переменных на каждом шаге интегрирования вычисляются из
соотношений (Р15-8), (Р15-9), определяющих
(c) = (c)(г/, 0) и 0 = в (г/, 0). Запишем их в виде
Gi{y, 0, (c), 0) = 0, г = 1, 2. (6.1.42)
Предположим, что функции G; удовлетворяют условиям теоремы о неявных
функциях, и пусть значения (c)(#,0) и в (у, 0)
288
Глава 6
для заданных;# и (c) найдены. Тогда производные (6.1.41) можно найти, решая
две системы линейных алгебраических уравнений
- да - Г dGt 1
~д<Г ду
дв dG2
- ду - L ду
- да - - dGt -|
"Ж 50
дв - 5G2
- дв - -50-1
(6.1.43а)
(6.1.43Ь)
где dGi/dy = - /м, дй2/ду - 0, dGi/dQ = 0, а матрица Г определяется как
г i,dGl
да дй2 L да
dGi
50
ао2
50
dG2/d@ = -J и,
(6.1.44)
Описанный подход несложно реализовать в случае, когда нелинейное
уравнение (Р15-11) имеет одно и только одно решением, которое должно
удовлетворять естественному с физической точки зрения требованию у С (c) <
1 (см. формулу (Р15-5)).
Значительные сложности возникают тогда, когда уравнение (Р15-11) при
определенной комбинации параметров и переменных у и (c) будет иметь
несколько допустимых решений (как правило, три различных решения (c)).
Такая ситуация имеет место, в частности, при больших значениях параметра
В. В этом случае метод Ньютона, используемый для решения уравнения (Р15-
11), может оказаться расходящимся или же будет сходиться к какому-либо
другому решению, а не к тому, которое ожидалось. В зависимости от того,
какой из корней уравнения (Р15-11) выбрать, получаются различные функции
y(z) и @(z).
Из физических соображений (в случае трех решений) интерес представляют
прежде всего два крайних решения (c) уравнения (Р15-11), а именно значение
со, лежащее в окрестности значения #, о > у (так называемое нижнее
решение), и корень, располагающийся в окрестности 1, (c) < 1 (так
называемое верхнее решение). При решении дифференциальных уравнений (Р15-
6), (Р15-7) мы поступаем следующим образом: в областях параметров, где
существует несколько решений уравнения (Р15-11), мы всегда рассматриваем
(если это возможно) только нижнее решение (c) (или соответственно верхнее
решение (c)) и
Обычно связанных с устойчивостью найденных распределений концентраций и
температуры. - Прим. ред.
6.1. Стационарные решения
289
тем самым получаем два различных (основных) решения дифференциальных
уравнений. Еели же комбинировать на разных подынтервалах ze[0, 1] верхнее
и нижнее решения (c), то мы получим разрывные профили (c)(z), 0(z).
На рис. 6.1а приведены профили 0(z), y(z), (c)(z), 0(z), найденные для
случая, когда при всех z выбиралось нижнее решение (c) уравнения (Р15-11).
На рис. 6.lb представлен пример профилей решений (для тех же значений
параметров), когда
1 0,499J 0,5015
Рис. 6.1. Аксиальные профили конверсии и температуры, задача 15; Da = =
0,065, Рем = 20, Ре" = 10, 0 = 1, В = 15, у = 20, вс = 0, 1М = 1Н = 25;
а) непрерывные профили ш и 0, Ь) разрывные профили шив.
