Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
1 ** Lс+эо-"())2J p •
/=1, 2, ..., n - 1.
6.1. Стационарные решения
279
Соответствующие выражения для §
goo, gou gnn нетрудно получить |
дифференцированием уравнений g
(6.1.22b, с). Ход итерационного "
процесса в случае применения §
метода Ньютона представлен в о
табл. 6.1. Точное значение у(0) g
в этой задаче равно 0,5521, так g
что погрешность аппроксимации ?
при h = 0,1 сказывается лишь 1
в четвертом знаке. Заметим, Л
что приведенный выше при- g
мер оказывается настолько про- °
стым, что его вполне можно ана- §
лизировать с помощью неболь- (r)
шой персональной ЭВМ. §
В качестве более сложного g
примера рассмотрим решение за- к
дачи 17. Соответствующие раз- "э
ностные аналоги уравнений (Р17-16) - (Р17-20) имеют вид §(r)'
1 II
но - 0,
F0 = 0, (6.1.23а) "8
G0= 1, at
^t-i ~ + Fi+\ ~ "Л
О W
-A2Re(F2-G2 + ?) = 0, cl Gl^-2Gt + Qt+l-2^FiGi- Iе0; -4'^VR^(Gi+1-G<_,)^
= 0, г = 1, 2, ..., п- 1, (6.1.23Ь) |>
яп-я"_1 + лл/М^+^-1)=0, gf
(6.1.23с)
Нп = 0, Ц
Fn = 0, (6.1.23d) ||
G"=:5. ,2 8.
о О Q О О О О ОО о о ООО(c)(c) (c)л(c) (c)_(c)лож
0,9 о о ^ (c) (c) OlCOKNOl О О -< -1 - О О ООО о" o' o'" о*
0,8 OONOO OOTflOlO (c) CS СО СО СО О 00 00 00 00 ~ о* o'" o'" о
0,7 (c) О О СО СО о (c) (c) ь- h- O^tDtDtD (c)• ^ r-S o' <D <D (c)"
I 0,6 1,0000 0,6800 0,7088 0,7092 0,7092
0,5 (c) (c) ^ (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) CS CO (c) (c) (c) CO (c)^ (c) (c) -Г о (c)" (c)~ (c)
0,4 OOCONW (c) (c) (c) - - (c) 00 CS CS <M (c) Ю CO (c) (c) (c)" o' (c)" (c)"
0,3 (c) (c) CS (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) ^ (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) ~ (c)(c)(c)(c)
0,2 (c) (c) (c) CO CO (c) (c) (c) (c) (c) (c) cs (c) (c) (c) (c) (c) (c) lO (c) ^'(c)(c)'cT(c)
о (c) (c) ^ (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c)ж(c) (c)л(c)л(c) ~ (c) (c)* (c)~ (c)
о о (c)(c) cs cs (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c)л(c) (c) (c) (c)" (c)" (c)" (c)"
ииЬвйэхи dswoH (c) -^ CS CO ^
280
Глава 6
Допустим, что значения параметров Re и 5 заданы. Упорядочим неизвестные
следующим образом: Н0, F0, Go, Ни Fь Gi, ..., Нп-1, Fn-u Gn-u Нп, Fn, Gn,
k. Мы получим тогда семидиагональную матрицу размещения с полностью
заполненным последним столбцом (что соответствует появлению неизвестной k
во всех уравнениях (6.1.23Ь)). В этом случае общее число уравнений
оказывается равным 3 (п-1) + 7. При интересных для этой задачи числах
Рейнольдса (Re ~ 500 1000) нужно
довольно много узлов. Например, для Re = 625 необходимо п- 100 -4- 200
[6.11]. Подобную задачу следует решать уже на достаточно мощных ЭВМ, даже
если использовать специальную программу для решения систем линейных
алгебраических уравнений с почти семидиагональной матрицей. Кроме того, в
данной задаче при достаточно больших значениях параметра Re (Re > 700)
появляются "паразитные" решения. Так, при п - 100 и п = 200 существуют
решения, которые в случае более мелкого разбиения, например при п = 800,
исчезают (см. [6.11]). Учитывая это обстоятельство, при использовании
разностных методов представляется необходимым результаты, полученные при
достаточно грубом разбиении, пересчитывать на более мелкой сетке узловых
точек. При этом только хорошее совпадение результатов для нескольких
последовательных дроблений может служить критерием правильности решения.
6.1.2. Метод стрельбы
Основная идея метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи к
задаче Коши, для решения которой можно использовать стандартные
программные средства, имеющиеся практически на каждой ЭВМ (см. § 5.7).
Ниже мы рассмотрим простейшие варианты метода стрельбы, вполне
достаточные для понимания его концептуальной стороны. Более подробное
изложение этого метода читатель может найти в учебной литературе [6.7,
6.8].
Опишем подробнее метод стрельбы на примере задачи
(6.1.1), (6.1.2) с граничными условиями (6.1.4). Для того чтобы данную
задачу четвертого порядка можно было решать как задачу Коши, мы должны
задать в некоторой точке четыре начальных условия. Воспользуемся тем, что
в точке 2 = 0 уже имеются два заданных условия, а именно условия
(6.1.4а), и выберем два дополнительных условия вида
*(0) = Л1, У(0) = Л2- (6.1.24)
Полученную задачу Коши на промежутке от 2 = 0 до 2=1 можно решать с
помощью какого-либо из методов, рассмотрен-
6.1. Стационарные решения
281
ных в § 5.7. (Эти методы предназначались для решения систем
дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения
(6.1.1), (6.1.2) легко преобразуются в систему четырех уравнений первого
порядка: х'= и, и' = -L2f(x,y)/Dx, у'= v,
v' = -L2g(x, у)/Dy. Начальные условия (6.1.4а) и (6.1.24) преобразуются к
виду и(0) = о(0) = 0, x(0) = t]i, г/(0) = т]2. Мы будем, далее
придерживаться исходных обозначений).
По окончании интегрирования, т. е. в точке 2=1, мы получаем значения
решения, зависящие от выбора условий (6.1.24): х(1,т]), х'(\,ц), у(1,ti),
у'{ 1,4). Для того чтобы найденное решение задачи Коши было одновременно
и решением исходной краевой задачи, нам необходимо удовлетворить условиям
