Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 711

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 705 706 707 708 709 710 < 711 > 712 713 714 715 716 717 .. 742 >> Следующая

граничные условия
(6.1.4) трехточечными центральными разностями:
з>~' "°- Л~''м~'=0' (6.1.10а)
2* y'n~'"'n'~'=0- <6U0b>
Подставляя значения х-\, z/_ 1, хп+\ и уп+1 из этих соотношений в формулы
(6.1.7) и (6.1.8), находим
2*! -2x0 + ^?-f(x0, Уо) = 0, (6.1.11а)
2l/i - 2y0 + AA-g(x0, у0) = 0, (6.1.1 lb)

D L2h2
п^-2хп + ±щГ!(Хп, Уп) = 0, (6.1.12а)
2yn_i - 2yn + ^~g(xn, уп) - 0. (6.1.12Ь)
Так же, как и в случае ГУ1, мы получили систему 2/г + 2 нелинейных
уравнений (6.1.7), (6.1.8), (6.1.11), (6.1.12) относительно 2" + 2
неизвестных. Упорядочим эти неизвестные
18*
276
Глава 6
следующим образом:
X = (Xq, Уо, Х\, У\, Х2, . . Xn_i, Уп-1, хп, уп). (6.1.13)
Перепишем теперь соответствующие уравнения для случая ГУ2 в виде
последовательности:
1. (6.1.11а),
2. (6.1.1 lb),
3. (6.1.7) при i = 1,
4. (6.1.8) при i = 1,
5. (6.1.7) при г = 2, ( • • )
6. (6.1.8) при г = 2,
2п- 1. (6.1.7) при г = и - 1,
2л. (6.1.8) при i - n- 1,
2л + 1. (6.1.12а),
2л+ 2. (6.1.12b).
Мы получили систему нелинейных уравнений со специальной структурой
вхождения неизвестных в уравнениях. Для описания этой структуры вводится
специальная схема (матрица) размещения, имеющая столько строк, сколько
исходная система уравнений, и столько столбцов, сколько неизвестных
имеется в системе. Элементами матрицы размещения служат либо нули
(неизвестная в соответствующем уравнении не фигурирует), либо крестики
(неизвестная входит в соответствующее уравнение). Таким образом, первые
шесть строк матрицы размещения для системы (6.1.13) - (6.1.14) имеют вид
х х х 0....................О
х х 0 х 0.................О
хОхххО.....................О
ОхххОхО....................О
О 0 х 0 х х х 0............О
ОООхххОхО . . . .0
Читатель может легко достроить матрицу размещения и убедиться,
что она является пятидиагональной (это означает, что
крестики располагаются на главной диагонали и на четырех соседних
диагоналях). Отметим, что в данном случае матрица Якоби системы также
будет пятидиагональной. Если теперь для
6.1. Стационарные решения
277
решения этой системы применить метод Ньютона, то на каждом шаге итераций
нужно будет решать систему линейных алгебраических уравнений с
пятидиагональной матрицей. При этом можно воспользоваться алгоритмом,
основанным на методе исключения Гаусса, в котором учитываются лишь
элементы на указанных пяти диагоналях.
Применим теперь метод конечных разностей для нахождения стационарного
решения задачи 16. Это стационарное решение описывается соотношениями
(см. уравнения (Р16-11), (Р16-12))
У" + -уУ'~ Ф2!/ ехр ^9-= 0, (6.1.15а)
0" 4- 0' урф2у ехр t +е0/^ = Q, (6.1,15Ь)
а граничные условия (Р16-13), (Р16-14) принимают вид
у' (0) = 0, (6.1.16а)
е'(о) = о, (6.i.i6b)
0(1) + -^'(0=1, (6.1.16с)
вШ + А-е'О)-0. (6.1. i6d)
Иногда при вычислении стационарного решения удается понизить размерность
исходной задачи. Продемонстрируем эту возможность на данном примере,
предполагая Nu = Sh. Умножая уравнение (6.1.15а) на множитель ур,
складывая результат
с уравнением (6.1.15Ь) и вводя обозначение
ы = ург/ + 0, (6.1.17)
мы получаем уравнение
и"+ -?-"' = 0. (6.1.18)
Граничные условия (6.1.16а, Ь, с, d) переписываются в виде
и,(0) = 0, (6.1.19а)
tt(l) + -J-"'(l) = Yp. (6.1.19b)
Левая часть уравнения (6.1.18) равняется [t^u'Y/r0, откуда с
использованием (6.1.19а) находим и' = 0. Интегрируя, имеем и = С, и из
условия (6.1.19Ь) следует, что и(г) = ур. Теперь из формулы (6.1.17)
вытекает зависимость между 9 и у
0=уР(1-у). (6.1.20)
278
Глава 6
Заметим, что при Nu^Sh это соотношение оказывается несправедливым. Таким
образом, система (6.1.15) - (6.1.16) сводится к краевой задаче для одного
дифференциального уравнения второго порядка
У"+ ~ у'- Ф2У ехр 1 + р\ГД) ='0 <6 '1 '21 >
с граничными условиями (6.1.16а, с). Рассмотрим далее для простоты
предельный случай Nu-э-оо, Sh->oo (см. гл. 4, задача 16). Выберем сетку
узловых точек следующим образом: п = ih, i = 0, 1, ..., п, h = 1/п. Тогда
разностный аналог уравнения (6.1.21) принимает вид
+Д. _^|exp _о,
/=1, 2, ..., п- 1. (6.1.22а)
Разностный аналог граничного условия (6.1.16а) получим, введя виртуальную
точку г-\. В случае г = 0, однако, в уравнении (6.1.21) имеется
неопределенное выражение (а/г)у' типа 0/0. При г -> 0 находим
у" + (а/г)у'^(а+1)у".
Далее, используя разностную замену для уравнения (6.1.21) при г = 0,с
учетом требования y-i - yi (которое вытекает из условия (6.1.16а))
получаем окончательно
(2у, - 2у0) - Ф2у0 ехр = °- (6-1 -22Ь)
Наконец, граничное условие (6.1.16с) при Sh-"-oo аппроксимируется с
помощью соотношения
Уп- 1=0. (6.1.22с)
Читатель может легко построить матрицу Якоби G = [g;/], i, / = 0, 1, ...,
п, для решения системы методом Ньютона. Эта матрица будет
трехдиагональной, а ее элементы (производные левой части соотношения
(6.1.22а)) имеют вид
^____________ 1 А • 1 О 1
§i, i - l h2 2ih2 1 ^ * " * ' ^ '
§it ?+1 ^2 I 2ifi2 * ^ ' ' * ' ^
Я - 2 1Рг Г1 I lc.-.o v|i<1->'>
Предыдущая << 1 .. 705 706 707 708 709 710 < 711 > 712 713 714 715 716 717 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed