Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 701

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 695 696 697 698 699 700 < 701 > 702 703 704 705 706 707 .. 742 >> Следующая

величины
б/ - ¦ (5.9.13)
Координаты точек бифуркации и значения б/ приведены в табл. 5.31 [5.26].
Из таблицы видно, что найденные значения б j стремятся к пределу б* ~
4,6692 [5.27].
Таблица 5.31. Каскад бифуркационных точек с удвоением периода для модели
Лоренца, задача 10 (ст = 16, 6 = 4, k = 1, Xk = 3,82038).
/ х2 Хъ Т1 Г! а/
1 20,90946 273,34849 0,30618 356,93391
2 16,85987 246,64055 0,63009 338,06197 4,9740
3 21,19530 259,36006 1,26750 334,26789 4,7313
4 17,29002 244,99724 2,53818 333,46599 4,6824
5 17,24233 244,70901 5,07771 333,29472 4,6707
6 17,25889 244,74356 10,15599 333,25806
На рис. 5.34g, h представлены две хаотические орбиты отображения Пуанкаре
для задачи о двух связанных между собой реакторах (задача 8). Трехмерная
гиперплоскость 2 задается при этом соотношением - Yi + Х2 - Уг + 0,9 = 0.
Для более наглядного геометрического представления орбита О отображения
Пуанкаре, лежащая в плоскости 2, обычно проектируется на какую-либо из
координатных плоскостей. В данном случае орбита О спроектирована на
плоскость Х\-Х2 (см. рис. 5.34g, h). Из рисунка ясно, что точки орбиты О
располагаются на некоторой гладкой кривой (точнее, в ее очень малой
плоскости). Показатели Ляпунова, которые подсчитывались с помощью
подхода, описанного в п. 5.9.1, приведены в табл. 5.30 для значений
параметров, указанных на рис. 5.34g, h. При этом положительное значение
указывает на наличие хаотического аттрактора.
5.10. Квазистационарное поведение динамических моделей 24Т
5.10. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ')
Рассмотрим динамическую модель, зависящую от параметра а,
- f (х> а), (5.10.1>
для простоты считая параметр а скалярной величиной. До сих пор мы считали
значение а постоянным. Однако в реальных ситуациях параметры системы
часто изменяются в зависимости от времени. Рассмотрим очень медленное
изменение параметра а со временем t, задаваемое либо соотношением
а = а(0, I а' (/) | " 1, (5.10.2)
либо как решение дифференциального уравнения
-§- = Ф(*. ")• (5-10-3>
В обоих случаях мы предполагаем, что параметр а меняется со временем
гораздо медленнее переменных состояния х. Возникающее в результате
поведение системы мы называем ква-зистационарным2). Обычно мы
считаем, что правые части уравнения (5.10.3) не зависят
от х, хотя включение х в описание
изменений а не вызвало бы никаких затруднений.
Поясним это понятие для случая, когда в момент времени t = 0 мы находимся
очень близко к устойчивому стационарному решению х (а (0))^системы x =
f(x, а(0)) (х (0)]"* х (а(0))). Тогда решение x(t) системы
-f = f(x, a(t)), х(0) = х(а(0)) (5.10.4)
мало отличается от функциях (а (0), где х(а) - устойчивое стационарное
решение уравнения (5.10.1) при фиксированном а 3>.
Рассмотрим теперь частный случай общей эволюционной задачи, часто
встречающейся в физических и биологических
о Это название возникло в технической литературе при исследовании
установившегося поведения модели (т. е. чаще всего устойчивого
стационарного решения) в случае очень медленного изменения параметра.
2> "Стационарное" (в составе термина "квазистационарное") понимается как
установившееся, не обязательно не зависящее от времени.
"Квазистационарное поведение" в некотором смысле близко к
установившемуся. Авторы не пытаются дать здесь точное определение
используемых понятий. - Прим. ред.
3) Точнее, мало отличается до тех пор, пока х(а)-асимптотически
устойчиво. - Прим. ред.
248
Глава 5
приложениях. Решение в данном случае изменяется со временем в малой
окрестности устойчивых ветвей на диаграмме решений, в малой окрестности
аттракторов. Процесс эволюции системы можно представить в форме так
называемой эволюционной диаграммы, на которой из диаграммы решений
выделяются устойчивые части и на которой стрелками изображается эволюция
установившегося решения во времени. Наряду с этими медленными изменениями
отмечаются также быстрые переходы от решения, которое потеряло
устойчивость, к следующему аттрактору. Для описания изменений параметра
во времени чаще всего используются два вида зависимостей a(f), а именно,
линейный рост
а = ао + а^ (5ЛС1.5)
и экспоненциальный рост
а = а0 ¦ ect. (5.10.6)
Расчет эволюционной диаграммы осуществляется сравнительно просто, однако
требует довольно много времени. Для интегрирования уравнений (5.10.1) с
параметром а, изменяющимся согласно формулам (5.10.5) или
(5.10.6), можно исполь-
зовать некоторые из методов, описанных в § 5.7. При этом необходимо
применять методы с автоматическим изменением шага интегрирования,
поскольку при динамическом моделировании ситуации, когда решение меняется
весьма медленно, чередуются с ситуациями, когда имеют место быстрые
переходы к другому режиму. Поскольку изменение параметра а происходит
очень медленно, то приходится проводить интегрирование на большом
временном промежутке, с тем чтобы значение параметра а изменилось
достаточно заметным образом. Довольно часто приходится повторять процесс
Предыдущая << 1 .. 695 696 697 698 699 700 < 701 > 702 703 704 705 706 707 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed