Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
между двумя целыми резонансами б; области резонансов заштрихованы; Лещ -
G^J х; Лсо,'Со2 -
< 0>! СО 2) - S.
прерывных производных. Теорема устанавливает существование интегралов
движения для многомерных нелинейных колебаний. Как признание важности
работ указанных авторов ее принято на-
Отображения и линейная устойчивость
187
зывать теоремой КАМ. Ниже мы обсудим смысл теоремы, идею доказательства и
значение условий ее применимости.
Проиллюстрируем трудности доказательства теоремы на примере двумерного
отображения поворота (3.1.13). Последовательные пересечения возмущенной
траектории с поверхностью 02 = const (см. рис. 3.1, а) описываются
разностными уравнениями, которые определяют новые значения переменных J ъ
0Х на поверхности сечения через их предыдущие значения. Предположим, что
инвариантная кривая вида (3.2.1а) удовлетворяет уравнению
/1(01 - - 2ла) = (0Х) -у v (0Х), (3.2.4)
где v (0Х) - некоторая известная периодическая функция.
Попробуем решить это уравнение путем разложения в ряд
Фурье по 0Х:
Ji (6i) = 2 akem'- v (0Х) = 2 bkem'. (3.2.5)
k
Тогда
Jj (0j - 2л")- J1 (0Х) = - ak\ 1-exp (ik2ла)] exp (г/г0х),
k
(3.2.6)
откуда
-----------^-------. (3.2.7)
1 - exp (ik 2яа)
Коэффициенты ak убывают медленнее, чем bk, а при рациональных а некоторые
из них не определены. В этом и состоит проблема малых знаменателей,
препятствующих сходимости рядов теории возмущений. Если а зависит от Jъ
то величину 7Х нужно выбирать так, чтобы ни один знаменатель не оказался
резонансным. Для этого необходимо соответствующим образом изменить
процедуру разложения, а также потребовать достаточно быстрого убывания
коэффициентов bk- Доказательства теоремы КАМ чрезвычайно сложны и мы не
будем их здесь излагать. Основная идея доказательства состоит в изменении
начальных условий на каждом шаге разложения таким образом, чтобы все
время оставаться достаточно далеко от всех резонансов и тем самым иметь
возможность продолжать разложение.
Нелинейность 1). Мы уже знаем, что при наличии резонанса между степенями
свободы невозмущенной системы фазовые траектории
1) В оригинале - linear independence or sufficient nonlinearity
(линейная независимость, или достаточная нелинейность). Термин "линейная
независимость частот" обычно связывается только с условием вида (3.2.2),
которое может выполняться и для линейного осциллятора с постоянными
частотами. Поэтому в переводе используется в этом случае термин
"нелинейность (колебаний)", понимаемый в смысле условия (3.2.10),
приведенного ниже.- Прим. ред.
188
Глава 3
существенно искажаются под действием возмущения. Если невозмущенные
частоты зависят от переменных действия, то изменения последних выводят
систему из резонанса и тем самым ограничивают эти изменения. Если
максимальные колебания J много меньше невозмущенного значения J0, то
возможно существование инвариантных кривых, расположенных "вблизи"
невозмущенных J = J0. В этом и состоит смысл условия нелинейности
невозмущенных колебаний. Это условие гарантирует, что в выражении
(3.2.1а) v (|, е) 0 при е 0.
Чтобы полнее изучить этот вопрос, найдем условие линейной зависимости
частот. Для простоты рассмотрим систему с двумя степенями свободы и
предположим, что частоты coj (Jх, /2) и со 2 (J I, J 2) связаны
соотношением
/(со 1, со2) = 0.
Дифференцируя, получаем
df = -У- (dJx + dJ2) +
' дщ \ dJx dJ2 2/ т
df I d<?>2 i i | dw
dw2 \ 9J i
dJx + -^dJ2)=0 1 9j 2 7
для любых dJ x и dJ 2. Это уравнение удобно записать в матричном виде
д(0] дщ \ / df
dJ i ~д!Г
доц
df
= 0. (3.2.8)
9 CO] dco2
dJi 9Ji ) \ d(o2
Если det (Hj Ф 0, то единственное решение: fa = 0. Это означает, что не
существует справедливого для всех J соотношения вида
f = m1(i)1Jrm2 со2 = 0. (3.2.9)
Следовательно, необходимое условие нелинейности колебаний
можно записать в виде L)
det ф 0. (3.2.10)
Именно в такой форме его обычно и приводят.
Для некоторого заданного резонанса условие (3.2.10) можно ослабить,
потребовав лишь, чтобы частота не оставалась постоянной 2) вдоль
направления фактического приращения J. Действи-
Э В теории КАМ это условие необходимо для компенсации сдвига частот из-за
возмущения (Да>) путем изменения начальных условий (ДJ), т. е. для
разрешимости системы линейных уравнений Дш = atj-AJ относительно ДJ.-
Прим. ред.
2) Точнее, чтобы не сохранялось условие резонанса т-в> = 0.- Прим.
Отображения и линейная устойчивость
189
тельно, рассмотрим систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом
(2.4.1):
Я = Я"(/Х, /а) + е? J2)ei(ie'-me'\ (3.2.11)
I, m
Выбирая резонанс с I = г, m = s и о>2/(о1 = r/s, подставляя в (3.2.8) с
dfhЗсо! = г, d//dw2 = - s и учитывая, что из уравнений Гамильтона dJ1/dJ2
= - r/s, получаем условие на нелинейность в виде
г2 -2rs -~Но - +s2 ^ 0; (3.2.12)
ЗУ2 ЗУ2
оно используется также при доказательстве теоремы КАМ. В случае
произвольного числа степеней свободы аналогичный результат приведен в §
3.3 работы [70]:
(3.2.13)
