Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
С @п-2 + Ьп-5 "f" + 0 (Ьп~3 -4)" g 39)
П = +-I + &га-4 - (<0 + 1) 6"_3,
? = <*" + Ьп_ з.
Если коэффициенты С и О в соотношениях (5.8.37) вычислить по формулам
(5.8.39), то уравнения (5.8.19) и (5.8.37) будут представлять собой
систему п + 2 нелинейных уравнений относительно п + 2 неизвестных, как и
в методе 3 (в найденной точке бифуркации типа тора условие Е - 0
выполняется автоматически). Вместо соотношений (5.8.37) мы могли бы взять
условия С = Е = 0 или D = Е = 0 (поскольку Р (1) = 0, то С + + ?) + ? =
0, см. (5.8.38)). Для решения получаемых систем нелинейных уравнений
можно вновь воспользоваться методом Ньютона. Можно поступить и так: с
помощью метода Гаусса - Ньютона решить систему n + З уравнений (5.8.19),
(5.8.37) и Е - 0 относительно п + 2 неизвестных.
В табл. 5.28 приведены точки бифуркации типа тора для задачи 8, найденные
описанными выше методами. Отметим, что метод Ньютона является очень
чувствительным к выбору начального приближения. При этом подходящее
начальное приближение находится обычно с помощью продолжения
соответствующей ветви периодических решений. В табл. 5.29 указана одна
точка бифуркации типа тора из табл. 5.28 в четырех различных
представлениях. Эти различные представления отвечают наличию на
траектории периодического решения нескольких точек, в которых Xk{z)
принимает заданное значение. Для точки бифуркации при В - 5,5 из табл.
5.28 график функции х\ (z) пересекает прямую гц=2 четыре раза. В табл.
5.29 приведены только значения координат ri2, Г1з и ri4 (значения Т и а,
конечно, одинаковы для всех представлений).
Таблица 5.28. Точки бифуркации типа тора для задачи 8 (А = 2, р = Dt/Dt =
0,1, k = 1, цк = 2).
В 1Ъ 4i 1Ь т а=?>1 ш
5,4 2,54225 2,14962 2,49720 8,19411 0,043790 1,20707
5,3 2,46270 2,18392 2,37593 7,67491 0,043716 0,51468
5,3 2,43727 1,90236 2,49646 7,15820 0,048626 -0,03388
5,4 2,45219 1,92098 2,50011 7,62914 0,051152 -0,72488
5,5 2,47887 1,92659 2,52457 8,32408 0,052495 - 1,08277
5,6 2,51478 1,92259 2,56374 9,19639 0,053030 -0,24608
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 235
Таблица 5.29. Точка бифуркации типа тора в четырех представлениях; задача
8 (А - 2, В = 5,5, р = Di/D2 = 0,1, k - 1, r|fc = 2); Т = 8,32408, а = D,
== 0,052495, со = -1,08277.
42 4* 4<
2,47887 1,92659 2,52457
2,45001 2,06954 2,41032
3,74710 0,98156 4,77861
3,35776 3,77821 1,49945
На рис. 5.31 представлена бифуркационная диаграмма для точек бифуркации
типа тора в плоскости параметров В - Du Точки, в которых А3 = 1 или А4=1,
обозначены как 3Т и АТ
Рис. 5.31. Бифуркационная диаграмма периодических решений. Бифуркация
типа тора. Задача 8, А = 2, р = Z31/Z>2 = 0,1.
соответственно. Изображенная на рисунке кривая заканчивается в
обозначенных кружком точках, для которых Ai = Аг = = Аз = 1.
В заключение данного пункта отметим, что описанные выше методы можно без
затруднений использовать для вычисления точек бифуркации и в случае
неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. § 5.11).
Кроме того, на основе результатов п. 5.4.2 в точке бифуркации типа "-1"
можно определить направление ветви решений с двойным периодом.
236
Глава 5
5.8.6. Метод многократной стрельбы
Метод стрельбы, называемый также иногда методом простой стрельбы (см. п.
5.8.2), в случае сильно неустойчивых периодических решений практически не
работает. В таких случаях можно использовать конечно-разностный метод,
который, однако, не дает нам информации об устойчивости найденного
периодического решения; кроме того, размерность решаемых задач
оказывается достаточно высокой. Определенным компромиссом между методом
стрельбы и разностным методом является метод многократной стрельбы. Он
позволяет не только находить сильно неустойчивые периодические решения,
но и достаточно просто получать информацию об их устойчивости.
Приступая к описанию метода, разобьем интервал [0, 1] на т - 1
подынтервалов с помощью точек г,:
0 = z, <z,< ... <zm_, < zm = 1,
Azj = zj+l - z}, /'= 1, 2, ..., m- 1.
В точках Zj, j = 1,2, ..., m - 1, выберем начальные условия вида
x(z/) = 4/ = (4/i> Ч/я). (5.8.40)
Кроме того, зададимся определенным значением периода Т. Интегрируя
уравнения (5.8.4) на интервалах \zh Zj+i] с начальными условиями
(5.8.40), можно найти решение в точке z/+i; обозначим его как x(z/+i
|rj/, Г, а). Для того чтобы решение в точке Zj+1 было непрерывным,
потребуем выполнения условий
F, = x(zl+i\T\j, Т, a) - r\i+l = 0, /= 1, 2, ..., m- 1. (5.8.41)
Кроме того, из условий периодичности (5.8.5) следует, что 41 = 4т.
Уравнения (5.8.41) представляют собой систему n(m-1) нелинейных
(алгебраических) уравнений относительно п(т -1)+1 неизвестных (rji, 42.
•••, 4m-i, Т). Так же, как в случае простой стрельбы, одну составляющую
вектора 41, а именно 41*, зафиксируем. Обозначим 4i = (4i, ь • ••>4i, *-ь
4i.*ч-1" 4i")- Тогда уравнения (5.8.41) можно рассматривать
как систему ti(m - 1) нелинейных уравнений относительно n(m-1)
