Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 674

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 668 669 670 671 672 673 < 674 > 675 676 677 678 679 680 .. 742 >> Следующая

(5.4.14), оказывается тождественным подходу (5.4.5), поскольку условие
для функции fn+i (5.4.1) идентично соотношению
(5.4.12).
Другой метод нахождения точек поворота основан на использовании условия
S- = o <5'4'15>
при соответствующим образом выбранном k. Условие (5.4.15) вместе с
системой (5.4.0) вновь образует систему n-f 1 нелинейных уравнений
относительно неизвестных х\,х2, ..., хп,а. Левую часть формулы (5.4.15)
можно найти как последнюю составляющую вектора v, т. е. решая систему
линейных алгебраических уравнений
J*(x, a)-v = -^,
где матрица ik определяется формулой (5.2.12). При п=1 условие (5.4.15)
вновь оказывается эквивалентным соотношению (5.4.5).
Более просто определяются точки поворота в тех случаях, когда мы можем
воспользоваться методом отображения параметра (см. п. 5.2.1).
Продемонстрируем эту процедуру на примере нахождения точек поворота в
задаче 1. (В этом примере
П М. Холодниок и др.
162
Глава 5
одна переменная (c) и один "живой" параметр Da. - Ред.) В п. 5.2.1 мы
вывели соотношение (5.2.4), из которого находим
Da = [в - 0 - Р(0-д -] 1 [Л(c) + Р (0 - 0С)] • ехр =
= g(0, Л, у, В, 0, 0е). (5.4.16)
В точке поворота имеет место условие dDa/d(c) = 0, или
ag(e,A,^5,p,e?) =0 (5417)
Если мы найдем корень 0* уравнения (5.4.17) при фиксированных значениях
параметров Л, у, В, р и 0С, то из формулы
(5.4.16) получим значение Da* в точке поворота. Проведя
дифференцирование в (5.4.17), после некоторых преобразований мы получаем
квадратное уравнение относительно неизвестной 0. Тем самым можно найти
максимум два положительных корня 0, которые соответствуют точкам поворота
на диаграмме решений- зависимости от Da (см. также данные табл. 5.3).
5.4.2. Продолжение решения из точки ветвления
В предыдущем пункте мы рассмотрели некоторые методы нахождения точек
ветвления на диаграмме решений. В § 3.4 были получены соотношения для
определения касательных векторов ветвей решения, отходящих из данной
точки ветвления. В то время как процедуры для определения точек ветвления
носили итерационный характер, угловые коэффициенты ветвей разыскивались с
помощью различных финитных подходов, основанных на методе исключения
Гаусса (точка ветвления предполагалась известной заранее). В настоящем
пункте мы опишем, как используются эти сведения для процесса продолжения
по параметру, т. е. построения диаграммы стационарных решений (см.
[5.12]).
При этом мы будем предполагать, что имеет место случай "общего
положения": ранг матрицы Якоби J и расширенной матрицы J понижается
только на 1:
rank J = rank J = п - 1.
Указанный алгоритм состоит из 9 шагов:
1. Нахождение точки ветвления (х**,а**), см. п. 5.4.1.
2. Вычисление частных производных функций ft в этой точке, построение
матрицы J по формуле (3.3.3).
5.4. Точки ветвления стационарных решений
163
3. Решение двух систем линейных алгебраических уравнений
(3.4.2) и (3.4.3) с целью нахождения частных производных
дер, <3ср,
вгг- На ' / = 2' 3..... "• (5.4.18)
Это решение можно получить, применяя метод исключения Га-
усса для двух различных правых частей одновременно, поскольку системы
(3.4.2) и (3.4.3) имеют одну и ту же матрицу.
4. Нам потребуются частные производные второго порядка от функции F(x 1,
а), даваемой формулой (3.3.11а). С этой целью вычислим производные
функции f, в точке (х**, а**):
г г =3 г - д% г -ЛЬ- (5419)
hi дх^ ha да' hjk dxjdxk' hja- dxjtЗа' I0-*-1")
Значения частных производных первого порядка мы уже нашли на шаге 2.
Обозначим аналогично производные функций ф,:
<4- / дфг / <Э2фг
дху Ф"а = (За Ф"11 (Эх,
г д2Ф,- / _ д2Ф>4
Фпа = dxida ' Ф"аа да2
(5.4.20)
В этих обозначениях системы (3.4.2) и (3.4.3) переписываются в виде
? Wi = -fiv i=h 2, ..., n-l, (3.4.2a)
j - 2
i=l, 2, .... я-l. (3.4.3a)
Дифференцируя соотношение (3.4.2a) по x\, находим
,?2 ^= _ /?2 ! ^it2 ^1 ~ ^f11'
(=1, 2, ..., я-1. (5.4.21)
Аналогичным образом, дифференцируя формулу (3.4.2а) по а,
получаем
164
Глава 5
Наконец, дифференцирование (3.4.3а) по а дает
% Woa = - [ ЭД/аФ/a + Z (Я/Ха) Ф^а 1 - f'iaa'
J - ^ J ¦" J а- Д e ^ J
г = 1, 2, ..., n- 1. (5.4.23)
Соотношения (5.4.21), (5.4.22) и (5.4.23) представляют собой 3 системы
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных <р'п, ф'1а,
ф,аа, обладающие одинаковой матрицей. Тем самым, с помощью метода
исключения Гаусса их можно решать одновременно. (Правые части систем
составлены из величин, численные значения которых уже определены на
предыдущих шагах алгоритма.)
5. Находим частные производные второго порядка для функции F, задаваемой
формулой (3.3.11а):
л=%г-г*п+?\ ЗД+м..+Ё (г"А) ч>;,1.
/ - 2 L ft -- 2
В = ==^'а + Ё ^*1А + f'wf'i I + КМи +
+ Ё <5-4-24>
k = 2 J
Й Г Я
С = 1&Г = f'naa + Yj 2^/аФ/а + fn/Ф/аа + Y (^п/Ха) Ф/а *
/ = 2 L ft=2 J
6. Строим стартовые точки для алгоритма продолжения, например, алгоритма
DERPAR (см. п. 5.2.3). Выбираем две малые числовые постоянные
hi >0, ha> 0. (5.4.25)
7. По крайней мере одно из двух искомых направлений ответвления
Предыдущая << 1 .. 668 669 670 671 672 673 < 674 > 675 676 677 678 679 680 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed