Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 673

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 667 668 669 670 671 672 < 673 > 674 675 676 677 678 679 .. 742 >> Следующая

соответствующих разностных формул. Формулы для их аналитического
вычисления (полезные при небольшом п) представлены в работах [5.9, 5.10].
Рассмотрим теперь точку (х, а), которая удовлетворяет соотношениям
(5.1.3), (5.4.1) и (5.4.2), т. е. условиям для точки ветвления. Здесь мы
имеем п + 2 уравнений для п-f-l неизвестных составляющих вектора X.
Положим теперь F = (/i, /2, •••, fn+ч)- Для решения переопределенной
системы
F (X) =0 (5.4.7>
воспользуемся методом Гаусса - Ньютона (см. [5.1]):
[F/r (Xft) F' (X6)] ДХ* = - F'T (X*)"F (Xft). (5.4.8)
Каждое новое приближение мы подсчитываем вновь по формуле (5.4.6).
Указанный метод сходится к стационарной точке (минимуму) функции ф = FrF;
при этом в точке ветвления функция ф имеет минимум, равный нулю (и только
в этом случае метод дает нужное нам решение переопределенной системы).
Если матрица F'r(X**)F'(X**) оказывается невырожденной, то сходимость
метода, даваемого формулой (5.4.8), будет квадратической.
Наиболее часто встречающиеся ситуации представлены в табл. 5.5. Конечно,
можно найти и соответствующие контрпримеры, однако результаты табл. 5.5,
судя по всему, будут верны для большинства практически важных случаев.
Таблица 5.5. Наиболее вероятные ситуации
Скорость сходимости
для процесса (5.4.5), (5.4.6) для процесса (5.4.8), (5.4.6)
Точка поворота Точка бифуркации квадратическая линейная расходится
квадратическая
Рассмотрим простой пример для п = 1. Пусть /1 = х (х2 - а) [(х - I)2 -f а
- 4] (1 - k + k (х - а)) = 0. (5.4.9)
5.4. Точки ветвления стационарных решений
159
Диаграмма решений для этого случая изображена на рис. 5.7. Параметр k
может принимать два значения й = 0 и ^=1 (для
Номер X а *=о* k=\
1 1,8229 3,3229 ТВ ТВ
2 1 4 ТП ТП
3 0 3 ТВ ТВ
4 -0,8229 0,6771 ТВ ТВ
5 0 0 ТП ТВ
6 2,3028 2,3028 РТ ТВ
7 -1,3028 -1,3028 РТ ТВ
8 1 1 РТ ТВ
ТВ-точка ветвления, ТП-точка поворота,
РТ-регулярная точка.
* При k-О рассматривать лишь сплошные линии.
k=\ мы имеем двойную точку бифуркации № 5). Конкретная
форма уравнений (5.4.1) и (5.4.2) в данном случае очевидна:
f2 = 6?х5 + 5 (1 - 3& - ka) х4 + 4 (2ka - k - 2) x3 +
+ 3 (5ka -3 + 3k)x2 + 2 (-3ka2 + a (k + 2)) x +
+ ka3-(2k+ l)a2 + 3(l -k)a, (5.4.10)
f3 = -kxb + 2&x4 + 5&x3 + (k + 2 - 6ka) x2 +
+ (36a2 - 2 (2k + 1) a + 3 (1 - k)) x.
В табл. 5.6 указано число итераций, необходимых для обеспечения
неравенства
max (| х* - х* |, | ak - а |) е (5.4.11)
160
Глава 5
Таблица 5.6. Исследование примера (5.4.9). Показано число итераций,
необходимое для выполнения неравенства (5.4.1).
k Начальное приближение (х. а) Метод (5.4.5), (5.4.6)
Метод (5.4.8), (5.4.6)
8 схо- дится к точке Ч 8
сходится к точке Ч
ю-2 ю-4' ю_6 10~2 ю~4 10-6
0 0,01 0,01 0 11 20 5 0 2 2 5
1,1 4,1 2 3 3 2 9 19 28 (1,02; 3,07)2)
1,5 3,0 8 15 21 1 3 4 4 1
0,1 3,1 6 13 20 3 2 2 3 3
-1,0 0,5 7 14 21 4 2 4 4 4
1,0 1,0 7 15 25 5 4 5 5 5
2,2 2,0 7 14 21 1 3 4 5 1
10 10 19 26 >31 1 12 12 13 1
-10 -10 19 26 >31 4 13 14 15 4
1 -0,5 0,5 9 20 >31 5 7 14 20 5
-1 -2 13 25 >31 5 8 15 22 5
-2 - 1 9 16 22 4 8 9 10 7
3 2 10 17 23 6 5 6 7 6
1,1 1,2 3 10 17 8 2 3 4 8
Ч Точки, отмеченные цифрами на рис. 5.7. 2) Стационарная точка ф.
при различных начальных приближениях. Из таблицы видно, что итерационный
процесс (5.4.5), (5.4.6) сходится квадратично к точке поворота и линейно
(если он вообще сходится) к точке ветвления1). Итерационный процесс
(5.4.8) сходится квадратично к точке ветвления. Точка № 5 на рис. 5.7 при
k = 1 представляет собой точку ветвления (в ней пересекаются три ветви
решения). Характер обоих итерационных процессов можно проследить в нижней
части табл. 5.6. Отметим, что процесс
(5.4.8) сходится к упомянутой точке лишь линейно.
Для систем больших размеров точное вычисление соответствующих
определителей может оказаться довольно трудным делом из-за накопления
погрешностей округления. Условие
11 Итерационный процесс в Rra uk+i = 0(uk) сходится "линейно" (т. е. так,
как при линейном отображении Ф), если г* s: Cqh, 0 < q < 1. Здесь rfe =
||ufe - и ||, и = lim uk. Обычно при этом rk - Cqk + о(qk).
k->oo
Процесс сходится "квадратично", если
5.4. Точки ветвления стационарных решений
161
det J = 0 можно записать иначе: должен существовать не равный
нулю вектор v, такой, что
J (х, a) v = 0. (5.4.12)
Этот вектор определен с точностью до постоянного множителя, и поэтому к
соотношению (5.4.12) добавляется еще условие "нормировки" вектора v,
например,
П
Е"?=1 (5.4.13)
i = 1
ИЛИ
Vk=l (5.4.14)
при заданном к. Уравнения (5.4.0), (5.4.12) и (5.4.13) (или
(5.4.14)) образуют систему 2п + 1 нелинейных уравнений относительно 2п +
1 неизвестных составляющих х, v, а. Решение этой системы можно искать,
например, с помощью метода Ньютона. Построение матрицы Якоби для
применения метода Ньютона требует вычисления вторых производных функций
/,¦ или использования соответствующих разностных формул. Заметим, что в
случае п = 1 метод, описываемый формулами (5.4.12),
Предыдущая << 1 .. 667 668 669 670 671 672 < 673 > 674 675 676 677 678 679 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed