Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
В § 3.1 устанавливается связь между гамильтоновыми системами и
каноническими отображениями путем использования метода сечения Пуанкаре в
фазовом пространстве. На примере отображения поворота показывается, как
построить отображение по
*) Так называемый метод сечения Пуанкаре (см. п. 1.26).- Прим. ред.
176
Глава 3
данному гамильтониану и как по отображению восстановить гамильтониан. Эти
результаты применимы, вообще говоря, к системам как с двумя, так и с
большим числом степеней свободы.
В § 3.2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных
особенностей поведения системы, включая теорему КАМ, которая
устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием
достаточно малого возмущения. Проанализированы условия "умеренной"
нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного
движения. На основании теоремы Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке
рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и
неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои.
Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости.
Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует
обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310], в которых
приведены многие математические доказательства.
В § 3.3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в
окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к
системам с двумя степенями свободы в § 3.4 рассматривается модель
ускорения Ферми, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки
(периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и
сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма
отображения. Наконец, в § 3.5 рассматривается задача о движении маятника
под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы.
Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен
характер линеаризованного движения. Такой подход был использован
Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому
движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при
оценке скорости диффузии Арнольда в гл. 6.
* § 3.1. Гамильтоновы системы как канонические отображения
* 3.1а. Интегрируемые системы
Рассмотрим осциллятор с двумя степенями свободы, гамильтониан которого Н
не зависит от времени. Так как система предполагается интегрируемой, то
можно ввести переменные действие - угол (см. п. 1,2в) и
H(Jlt J3) = ?, (3.1.1)
где Е - сохраняющаяся энергия системы, а /х, /2 - интегралы движения.
Сохранение энергии позволяет уменьшить размерность области движения в
фазовом пространстве с четырех до трех. Со-
Отображения и линейная устойчивость
177
хранение любой из переменных действия позволяет привести эту область к
двумерной поверхности в трехмерном пространстве постоянной энергии.
Движение по этой поверхности можно параметризовать с помощью частот,
соответствующих каждой из двух степеней свободы:
0Х = (0^-[-01О, 02 = f 02Oi (3.1.2)
где угловые переменные определены по модулю 2л.
Траектория
Рис. 3.1. Интегрируемая система с двумя степенями свободы.
а - движение на торе = const, J2 = const; б - поверхность сечения
Пуанкаре 02 ~ = const, треугольники и кружки - две периодические
траектории (s = 6) с разными начальными условиями. Сплошные линии
показывают большое число пересечении квази-пернодическон траектории.
Движение на торе. Движение описанной системы удобно представить как
движение на торе в фазовом пространстве. Такое представление можно
обобщить и на системы с большим числом степеней свободы. Зададим
некоторую энергию Е и рассмотрим одну из двух степеней свободы, скажем
первую. Тогда J г параметризует инвариантные поверхности, т. е. задает
"радиусы окружностей",
178
Глава 3
а угол 0Х характеризует положение системы на окружности. Для полного
описания необходимо учесть угол 02, так что инвариантная поверхность
оказывается тором, как показано на рис. 3.1, а.
Задание J х и Е определяет также J 2, а вместе с ним и отношение
а = -^, (3.1.3)
ш2
поскольку fflj = (Oj (J) и со2 = (о2 (J)• При а = г s, где г, s - взаимно
простые целые числа, частоты соизмеримы, и движение на торе вырождается в
периодическую траекторию, которая замыкается после г оборотов по 0Х и s
оборотов по 02. В общем случае а - иррациональное число, и траектория
покрывает всю поверхность тора. Поскольку г и s могут быть очень
большими, периодические траектории расположены в фазовом пространстве
всюду плотно.
Представление о движении на торе особенно полезно, потому что его можно
обобщить и на системы с более чем двумя степенями свободы. Сохранение
каждой из переменных действия уменьшает размерность инвариантной
поверхности на единицу. Так, если у системы с N степенями свободы в 2У-
мерном фазовом пространстве все N переменных действия сохраняются,
движение происходит по А/-мерной поверхности, или многообразию, и
