Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
приблизительно одинакова и зависит только от времени. Тогда вместо
уравнения теплопроводности (4.1.10) можно записать обыкновенное
дифференциальное уравнение, имеющее ясный физический смысл (уравнение
баланса тепла); его можно получить также предельным переходом Aw->°o из
(4.1.10):
d.T
VwPwCpw = ctiSi (T - Tw) + do S0(TC - 7w). (4.1.19)
Таким образом, мы получили модель нестационарного режима работы реактора,
представляющую собой систему s + 3 обыкновенных дифференциальных
уравнений (4.1.6), (4.1.9), (4.1.13) и (4.1.19).
Другую модель мы получим, если Aw имеет конечное значение, а теплоемкость
стенки реактора пренебрежимо мала. Если предположить к тому же, что
толщина стенки гораздо меньше*
90
Глава 4
чем диаметр реактора, то из условия равенства тепловых потоков получим
Qc = Sa() (Тт - Тс) = SX\v (Гwi - Тwo)/<Av =
= SaI(7,-fwl) = S?/I(7,-7,c). (4.1.20)
Здесь U\ - суммарный коэффициент переноса тепла:
В этом случае мы получаем модель нестационарного режима работы реактора,
состоящую из s + 2 обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. s
уравнений вида (4.1.6), а также уравнений
VCp -g- = FCp (Г0 - Г) + (- АН г) Vr (С[, ..., cs, Г) - SU{ (Г - Тс),
(4.1.21)
VcCpc = FcCpc (Тс0 - Тс) + SU, (Т - Тс). (4.1.22)
Из анализа вышеприведенных моделей видно, что характер модели и
размерность задачи в значительной степени определяются выбранными
предположениями.
4.1.2.3. Приведение модели к безразмерному виду
Существенным шагом в процессе преобразования модели является приведение
ее к безразмерному виду. При этом часто достигается уменьшение числа
параметров.
Проиллюстрируем этот подход на примере алгебраических уравнений (4.1.17),
(4.1.18), описывающих упрощенную модель стационарного режима работы
реактора. Предположим, что есть одна необратимая реакция п-го порядка
типа А->продукты реакции с соотношением для скорости реакции вида г = = k
• Са- Здесь константа скорости реакции k задается в форме Аррениуса, т.
е.
Мы получаем следующие два алгебраических уравнения для Сд и Г (учтя, что
Гд = F)
Гсдо - Fcx - k • c\-V = 0, (4.1.23)
FCB {To - Г) + (- AHT) Vkcl -US{T- Tc0) =0. (4.1.24)
4.1. Построение математических моделей
91
Укажем теперь некоторые возможности перевода модели в безразмерную форму.
Отнесем все величины (переменные и параметры) к соответствующим
характерным значениям. Прежде всего введем характерную температуру
[4.10]'
j _ ^0 + аТсо us
lm~ 1 + а ' ГДе FCp
В предельном случае адиабатического режима (U = 0) а = 0 и Тт = Т0.
Безразмерные концентрацию (и) и температуру (у) определим так:
y = i~- (4.1.25)
-СА0 1 ш
Введем безразмерные параметры: тепловыделение Р, число Дам-кёлера Da,
безразмерную э * ергию активации у.
о (-**,) "ло р 5а)
Р срТа(1+а)' 3 F RTm' (4Л2аа>
Уравнения баланса (4.1.23), (4.1.24) после перехода к переменным (4.1.25)
принимают вид
1 - и - Da ыгеехр[у (l-(4.1.26)
1 - у + Р Da и" ехр [у (1 -~)] = 0. (4.1.27)
Умножая уравнение (4.1.26) на р и складывая результат с уравнением
(4.1.27), нетрудно найти соотношение между безразмерной концентрацией и
температурой:
и = (1 + Р-0)/Р. (4-1.28)
При подстановке этого соотношения в уравнение (4.1.27) мы
получаем одно уравнение относительно безразмерной темпера-
туры у, описывающее установившийся режим работы реактора:
у- i^-Dafto), (4.1.29)
где
f(y) = ( 1 + Р - у)" ехр [у (1 - 1/у)].
Безразмерное уравнение (4.1.29) описывает также химические системы,
отличающиеся по физическим свойствам от рассматриваемой. Например,
уравнения баланса массы и энтальпии, описывающие необратимую реакцию n-го
порядка в частице пористого катализатора, в случае отсутствия
значительных
92
Глава 4
градиентов концентрации и температуры внутри частицы имеют вид
fccSx (ело - ск) - vpk (Т) ск = 0, (4.1.30)
hSx (То - Т) + (- АН г) Vpk (Т) & = 0. (4.1.31)
Здесь kc, h - коэффициенты массо- и теплоотдачи на внешней поверхности
частицы, 5Х - площадь внешней поверхности частицы, VP - объем частицы, а
с до и Т0 - концентрация и температура в ядре жидкости, обтекающей
частицу (т. е. в невозмущенной жидкости. - Перев.). Вводя определения
jferc,n (- АН ) vnk (ТЛ с?п
Р= cABL Da = Vl' . (4.1.32)
nt о х с АО
из соотношений (4.1.30) и (4.1.31) мы вновь получаем уравнение (4.1.29).
Здесь число Дамкёлера Da есть отношение прореагировавшего количества
вещества А (при Т = Тм и с - сдо) к максимально возможному потоку массы
этого вещества через поверхность.
Таким образом, одна безразмерная система уравнений описывает несколько
различных с физической точки зрения задач.
4.1.2.4. Анализ числа стационарных режимов (решений уравнения (4.1.29))
Рассмотрим сначала эндотермические реакции, для которых (-Д#г)<0, р С 0.
При этом левая часть уравнения (4.1.29) представляет собой монотонно
возрастающую, а правая часть - монотонно убывающую функцию у. Таким
образом, в данном случае может существовать не более одного стационарного
состояния для любых значений критерия Da.
Рассмотрим теперь экзотермическую реакцию (-АНТ > 0, Р >0). Перепишем
