Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
-Хладагент Vc
<%0 fy.L
Поверхность
Si
Поверхность ~ S0
Рис. 4.1. а) Реактор проточного типа с перемешиванием, б) Температуры в
резервуаре.
- объемы V и Ус, притоки F" расход на выходе F, расход Fс, температура
реакционной смеси на входе Т0 и охлаждающей смеси на входе Тс0 являются
постоянными;
- работа, совершаемая при перемешивании реакционной смеси и охлаждающей
среды, с точки зрения баланса энергии пренебрежимо мала;
- скорость реакции представляет собой такую функцию г(сь ..., cs,T), что
изменение числа молей компоненты реакции А/ на единицу объема равно v;r;
- удельная теплоемкость реакционной смеси Ср (на единицу объема)
постоянна.
Обозначим температуру внутренней стенки реактора через Twi, а температуру
внешней стенки - через Two; предположим далее, что в соответствии с
законом охлаждения Ньютона тепловой поток на единицу поверхности задается
выражениями вида ai(T - 7\у|)и а0(Т0- Тс), где а0 и ai - коэффициенты
теплоотдачи на внешней и внутренней поверхностях теплообменной1 стенки
(при этом мы считаем их постоянными).
Используя общее уравнение баланса (4.1.1), где
Р = Ffcj0 - Fch R = V/Vr и М = Ус;-,
4.1. Построение математических моделей
87
находим
dc,
V ~dt~~ FjCjo - FCj + \jVr(cu ..., cs, T). (4.1.6)
Если обозначить через h,(T) молярную энтальпию компоненты А/ и пренебречь
работой, совершаемой при перемешивании, то, применяя аналогичным образом
закон сохранения энергии (см. [4.8], [4.5]), получаем
ь-ю
у i- Z сА-=Z Fi°^ -F ? c*h* -Sicti (r -r')- (4-1 J>
/
Здесь ft/о обозначает энтальпию компоненты на входе в реактор, Sj
представляет собой суммарную внутреннюю поверхность теплообмена и Ti -
среднюю температуру внутренней поверхности стенки.
Преобразуем теперь уравнение (4.1.7), вычтя из него сумму уравнений,
получаемых из (4.1.6) путем умножения на соответствующую величину А/. В
результате мы получим соотношение вида
v ? ci чг - ? pi°t* ^ -А/) - (? va)Vr - 5'а>
/ / \ i /
(4.1.8)
Здесь Yj Vjhj = АНГ - теплота реакции. i
Далее можно записать
Zdh, ^ dT dT
°! ЧГ ^ 1иС'СР1ЧГ:= P~df '
i i
где cp/ - молярная теплоемкость компоненты А/, а Ср- теплоемкость
реакционной смеси на единицу объема. Считая Ср постоянным и положив
ZFlc,0(h,0-hi) = FCp(T0-T),
!
мы в конечном счете получим
VCp = FCp (Г0 - Г) + (-АНг) Кг (с, csT) - S,a, (Г - Д).
(4.1.9)
88
Глава 4
Запишем теперь уравнения баланса для процесса теплопередачи через стенку.
Предположим, что стенка имеет форму полого цилиндра и что она занимает
область W с внутренней и внешней поверхностями Si и So соответственно
(рис. 4.lb). Для температуры материала стенки 7V можно написать уравнение
dTw
PwCpw " - = ^wV Тw, (4.1.10)
где pw, cpw, W - соответственно плотность, удельная теплоемкость (на
единицу объема) и коэффициент теплопроводности стенки. Граничные условия
для уравнения (4.1.10) можно записать в виде
bw~- = ai(rm-r) на S" (4.1.11)
dTxv
дп = Оо (Тс - Two) на S0, (4.1.12)
где д/дп - производная в направлении нормали к S] или So-Уравнение
баланса энергии для охлаждающей среды имеет вид
VcCpc^ = FcCpC (Тсо - Тс) + S0oo (7Vo - Тс). (4.1.13)
Здесь Срс - теплоемкость охлаждающей жидкости на единицу ¦объема, a TWo -
средняя температура наружной стенки реактора.
Уравнения (4.1.6), (4.1.9), (4.1.10), (4.1.13) с граничными условиями
(4.1.11), (4.1.12) и соответствующими начальными
условиями образуют систему из s + 2 обыкновенных дифферен-
циальных уравнений и одного дифференциального уравнения с частными
производными.
Описанная модель сравнительно сложна по своей структуре. Ее можно
упростить, вводя различного рода упрощающие предположения.
4.1.2.1. Упрощенная модель стационарного режима
Прежде всего предположим, что система находится в стационарном состоянии.
Тогда мы получаем уравнение Лапласа для температуры 7V вместе с системой
алгебраических уравнений.
Из уравнения Лапласа нетрудно вывести следующее соотношение, означающее
равенство потоков тепла:
S,ct, (Т - Tm) = S0а0 (Two - Тс), (4.1.14)
4.1. Построение математических моделей
89
где величины, отмеченные черточками, представляют собой соответствующие
средние температуры. Комбинируя (4.1.14) и (4.1.13), получим соотношение
для скорости отвода тепла Qc в виде
Qc = FcCpc (Тс - TcQ) = S0ao(Tm - Тс) = (Г - 7\vi). (4.1.15)
Отсюда находим
Т - Tc0 = Qc
^Wi ^WO "j
Tfi pc aoso ai^i Qc _
Если толщина стенки равна dw, а диаметр реактсра гораздо больше, чем dw,
то приближенно S0 = 5! = S и Qc = Aw5 (Гwi - - rWo)/dw, откуда
d.=vscr-T^. l^ = {T^: + ^ + i + v}"- W.1.16>
Стационарное состояние реактора описывается теперь уравнением баланса
массы (4.1.17) (см. (4.1.6)) и уравнением баланса энтальпии (вытекающим
из уравнений (4.1.9) и (4.1.16)).
F/C/q - Fcf + vtVr(cu ..., cs, T) = 0, j= 1, ..., s, (4.1.17) FCP (T0 -T)
+ (- A Hr) Vr (c" .. ., cs, T) - US(T - Tc0) = 0.
(4.1.18)
4.1.2.2. Упрощенные модели нестационарного режима
Будем считать теперь, что температура стенки 7V во всех ее точках
