Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
соотношений
оо
{г2 - п2) иМл, /+1= (г2а>2г- l) Anj-2 2 AkjBn_k,j, (2.6.43а)
k=-oo
ОО 00
(s ti ) (х)гВп, = (s2o)r l) Bnj i ВцВп-k, i Ak,jAn~k, ft
k=-oo k=-oc
(2.6.436)
из которых можно найти все коэффициенты, кроме главных п = ± г и п = ± s,
так как для последних левая часть уравнений обращается в нуль. Эти
коэффициенты проще всего получить, задав
Каноническая теория возмущений
173
в дополнение к г и s три начальных условия. Выберем, например, х = х0 при
t = Он будем считать коэффициенты Фурье действительными (Ап = А В п. =
В_п), откуда следует х (0) = у (0) = 0. Тогда амплитуда Аг определяется
непосредственно из (2.6.42) с помощью рекуррентного соотношения
Л,./+1=^-*о-^-А0,- ? Anh (2.6.44)
1 1 п= 1
п- г
Рис. 2.15. Начальные условия х0, уа периодических решений системы Хенона
- Хейлеса при х0 = у0 = Одля различных значений a^Es/'r, где s, г -
взаимно простые числа (по данным работы [183]).
а частота находится из уравнения (2.6.43а) при нулевой левой части:
оц, /+1 = - ^ y^ri + 2 2 AkjBr-k, /j. (2.6.45)
Вместо того чтобы находить В0 и Bs из уравнения (2.6.436) при п = 0 и п =
s соответственно, обратим процедуру для ускорения сходимости. Если
использовать уравнение (2.6.436) с нулевой ле-
174
Г лава 2
вой частью и единственными отличными от нуля коэффициентами В0,о> B±s,0 и
А±г,о, то в первом приближении имеем
(s2cor- l) 2Б0,0 = 0. (2.6.46)
Это дает возможность найти Bs из рекуррентного соотношения, которое
получается с помощью (2.6.436) при п = 0:
2Bli+i = Bnj- I B2kj^A2kj. (2.6.47)
к ± s k
Входящие сюда величины В0/ определяются в любом порядке из того же самого
уравнения при п ~ s:
Во, /+1 - |"( 1 s <щ) BS; k ^ BkiBs^k, j -
_ AkjAs_k, / j.
(2.6.48)
Соотношение (2.6.47) эквивалентно условию (2.6.35). Все остальные
коэффициенты Ап и Вп получаются рекуррентно из уравнений (2.6.43) с
некоторым разумным максимальным значением п. После этого начальное
значение у определяется в любом порядке прямо из (2.6.39).
С помощью этой процедуры Баунтис [35] построил кривые зависимости
начальных координат х0, у0 при постоянном значении отношения а --- s'r и
непрерывно изменяющейся частоте оц. Величины а выбраны так, чтобы
наилучшим образом аппроксимировать значение а = 1 (отношение частот малых
колебаний). Полученные результаты приведены на рис. 2.15. Каждая кривая
постоянного а соответствует определенному диапазону непрерывного
изменения соЛ. Однако зависимость решения от а разрывна, т. е. малые
изменения а приводят к совершенно другим значениям сог, г и s.
Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в
форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической
форме с помощью подстановки х ~ р. хотя для периодических траекторий
такая формулировка не дает каких-либо очевидных преимуществ. Что на самом
деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими
невысокие степени координат. В противном случае метод становится слишком
громоздким из-за необходимости перемножать сразу много рядов Фурье, что
приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для
коэффициентов *).
г) В работе [473] предложен другой метод нахождения периодических
траекторий, свободный от этих недостатков.- Прим. ред.
Глава 3
ОТОБРАЖЕНИЯ И ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а
затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к
разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории
системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае
двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину
движения. Более того, использование отображений - обычно наиболее удобный
путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического
движения, так и математических доказательств существования различных
типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл.
2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход
от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно
широко используется при анализе движения большинства нелинейных
динамических систем.
Мы рассмотрим три случая возникновения отображений:
а) непосредственно из физической постановки задачи, например, для модели
ускорения Ферми, которая обсуждалась в гл. 1 и подробно рассмотрена в §
3.4;
б) как результат последовательных пересечений динамической траектории с
некоторой поверхностью *), например, в задаче Хенона - Хейлеса (гл. 1);
в) как результат аппроксимации движения, справедливой на некотором
ограниченном интервале времени или только в некоторой области фазового
пространства, например, в задаче о движении в окрестности сепаратрисы
маятника под действием периодического возмущения (§ 3.5).
В этой главе мы рассмотрим канонические отображения для связанных
нелинейных осцилляторов с произвольным числом N степеней свободы, но
особенно подробно для N = 2.
