Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 648

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 642 643 644 645 646 647 < 648 > 649 650 651 652 653 654 .. 742 >> Следующая

теорему о неявных функциях, с той лишь разницей, что роль а играет теперь
переменная хх. Таким образом, можно утверждать, что существуют функции
х;- = x/(xi), /' = 2, ..., п, и а = а(х\), определенные в некоторой
окрестности U (**),
такие, что
xj (ХТ) = х*г j = 2, • • •, п, а (х*) = а*, f(xb x2(x,), ..., хп(хх),
а(*,)) = О
для всех х
Можно показать, что
¦?г")=°- (3-3-6)
Тогда, если d2ajdxj < О, функция а{хх) имеет в точке х\ максимум - это
означает, что при a > а* пара стационарных решений исчезает. Если же
d2a/dx2 > 0, то функция а{хх) в точке х* имеет минимум и, значит, при a >
а* возникает пара стационарных решений. Такую точку (х*,а*) мы будем
называть точкой поворота.
Если ранг матрицы J(x*, а*) меньше п, то точку (х*, а*) называют
сингулярной точкой множества S(f).
Случай III. rank(J(x*, а*)) = п-1.
Предположим, что rank(J) - п - 1 (этим случаем мы и ограничимся). Тогда
из матрицы J можно выбрать матрицу J; порядка п-1, определитель которой
отличен от нуля. Для упрощения записи будем предполагать, что матрица Jj
получается из матрицы J вычеркиванием первого столбца и последней строки.
Таким образом,
dfi dft
дх2 ' ' ' '
дхп
dfn-
L дхо
дхп -J
п-1
(3.3.7)
80
Глава 3
det J, (x*, a*)=^0. (3.3.8)
Рассмотрим первые n-1 уравнений системы (3.1.1). Условие (3.3.8)
позволяет применить к этой системе теорему о неявной функции. Из нее
следует, что существуют функции
xi = Фг(хи а), г = 2, 3, ..., п, (3.3.9)
определенные в некоторой окрестности U точки (xj, а"), такие, что для
(х,, a)eU имеют место условия
х'* = (х\, a), i = 2, 3, ..., п
и
fi(x 1, Ф2(*ь а), • ••, ф"(*ь "). а) аз О, (3.3.10)
где у = 1, 2, ..., п - 1.
Подставим функции (3.3.9) в последнее уравнение системы
(3.1.1), введя при этом обозначение
F(x 1, a) = fn{xu фг(хь а), фз^, а), ..., ф"(х!, а), а). (3.3.11а)
Мы получим
F(xu a) = 0. (3.3.11b)
Теперь можно исследовать уравнение (3.3.11) с помощью методов, описанных
в § 3.2. Таким образом, нам удалось (исходя из заданных предположений о
ранге матрицы J) свести (ti + 1)-мерную задачу к двумерной.
Можно убедиться, что в рассматриваемом случае, когда rank(J)= п- 1,
?(<¦ "')=¦§•"• "•)="¦ (3-312>
Таким образом, сингулярной точке (х*, а*) множества S(fl
в Rn+1 отвечает сингулярная точка множества S (F) в R2.
Из уравнения /7(xi,a) = 0 (3.3.11) можно так же, как это сделано в § 3.2,
найти угловые коэффициенты касательных
/f **
к ветвям S (F) (т. е. вычислить значения в точке (xj, a')). Затем с
помощью формулы
dx, dqp, dx, дф,
-Ж = 1ЙТ^Г + Ж- / = 2.3,.... Я (3.3.13)
можно найти направление ветвей S (/), проходящих через
точку (х*, ос*) в Rn+1. Это есть итог наших вычислений.
3.4. Заключительные замечания
81
3.4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
3.4.1. Нахождение касательных векторов
Пусть в критической точке (х*,а*) множества S(f) пересекаются две дуги
этого множества (рис. 3.3а). Наша цель (это потребуется нам в гл. 5)
состоит в том, чтобы найти в этой точке касательные векторы к обеим
дугам, т. е. определить величины (dxi/da) (a*), i = 1, 2, ..., п.
Дифференцируя формулу (3.3.9) по а, получаем
dxL_dyj_dxL
da ~ дх, da ' да ' ¦ • • > "• (3.4.11
Значения производных (d(p(./dXj) (х*, а*), (дфг/да) (х*, а*),
i = 2, ..., п можно определить следующим образом. Дифференцируя тождества
(3.3.10) по Хь находим
>-••*........"->¦ <"¦">
1=2 1 1 1 дифференцирование же по а дает
>='¦*........"-*¦ <3-4-3>
i=2 1
Положим в равенствах (3.4.2) и (3.4.3) х = х* и а = а*. Мы получим две
системы линейных алгебраических уравнений
(d<fi д*?Л
для нахождения искомых величин I и -^-1. имеющие одну
и ту же матрицу коэффициентов Ji. По предположению (см.
(3.3.8)) матрица Ji невырожденна и, следовательно, эти системы однозначно
разрешимы.
3.4.2. Устойчивость на диаграмме стационарных решений
На диаграмме стационарных решений обычно указывается и характер
устойчивости этих решений, при этом сплошной линией мы изображаем ветви
устойчивых стационарных решений, а пунктирной линией ветви неустойчивых
стационарных решений. Изменение характера устойчивости происходит
обыкновенно в точках поворота и в точках ветвления. Изменение характера
устойчивости может произойти и в обыкновенной (регулярной) точке
диаграммы стационарных решений, например
б М. Холодниок и др.
82
Глава 3
в точке, отвечающей бифуркации Андронова-Хопфа. При этом на диаграмме
стационарных решений мы символически обозначаем малыми кружками
отделившиеся периодические решения (рис. 3.4). Черными кружками
обозначаются устойчивые периодические решения, а белыми
(незаштрихованными) кружками - неустойчивые.
3.4.3. Диаграмма периодических решений
Диаграмма периодических решений строится аналогично! диаграмме
стационарных решений: на двумерной картинке отображается зависимость той
или иной характеристики периодического решения от параметра. Обычно в
качестве такой характеристики мы выбираем период или амплитуду
периодического решения. Устойчивые и неустойчивые периодические решения
Предыдущая << 1 .. 642 643 644 645 646 647 < 648 > 649 650 651 652 653 654 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed