Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Это означает, что стационарное решение Uo(z) уравнения (2.6.1) является
устойчивым лишь в том случае, если для всякого решения u(z,t) уравнения
(2.6.1) с начальным условием и (z, 0) = <р(г), где функция ф(г)
достаточно близка к функции uo(z) в пространстве Dfc, оказывается
выполненным соотношение
lim u(z, t) = u0(z) (2.6.9)
t~> ОО
для любых ге [О, L] 1}.
Иными словами, профили концентрации решения u(z,t) "сходятся" при i-v-f-
oo к графику стационарного решения щ{г).
Устойчивость положений равновесия уравнения (2.6.3) можно определять так
же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, мы находим
собственные числа линеаризованного уравнения, и если эти собственные
числа располагаются слева от мнимой оси, то соответствующее состояние
равновесия устойчиво. Этот подход продемонстрируем на примере.
Пример 2.10 (продолжение). Оператор F(и) = dzu/dz2 в правой части
уравнения (2.6.6) является линейным и можно непосредственно найти его
собственные числа. Напомним, что число является собственным числом
линейного оператора F, если существует не равная нулю функция и е D", для
которой выполняется соотношение F(и) = Хи, т. е. функция u(z)
представляет собой решение обыкновенного дифференциального уравнения
и" - Я" = 0 (2.6.10)
с граничными условиями вида
ц(0) = ц(я) = 0.
Оператор F имеет в данном случае только вещественные собственные числа.
При Я^О решение уравнения (2.6.10) записывается в виде
и (г) = схе^г + с2е-V^, сь с2 е R.
п После уточнения смысла предельного перехода в (2.6.9) (введения нор-йы
или расстояния в пространство Dq ) сказанное близко к определению
асимптотической устойчивости (см.,' например, [2.8]). - Прим. ред.
2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными 67
Поскольку должны выполняться условия ы(0) = ы(я) = 0, то С\ = с2 = 0 и,
следовательно, функция тождественно равна нулю. Таким образом, оператор
F(и) = d2u/dz2 на пространстве Do не имеет неотрицательных собственных
чисел.
При А < 0 решением уравнения (2.6.10) является функция
и (z) - С] cos Vl A* Iz + с2 sin Vl ^ Iz-
Из условий ы(0) = ы(я) = 0 следует, что -у | А | - к, т. е. что значения
А& = - k2, k=\, 2, ...
суть собственные числа нашего оператора.
Итак, все собственные числа располагаются слева от мнимой оси, и,
следовательно, стационарное решение u(z) = 0 уравнения (2.6.6) устойчиво.
2.6.3. Периодические решения уравнения (2.6.1).
Бифуркация Андронова - Хопфа для уравнений с частными производными
Решение u(z,t) уравнения с частными производными (2.6.1), удовлетворяющее
условию
u(z, t + T) = u(z, t) (2.6.11)
при любом t^. 0 и ze[0, L), мы называем периодическим; число Т > 0 есть
период этого решения. Периодическому решению уравнения (2.6.1) отвечает
замкнутая траектория уравнения (2.6.3) в фазовом пространстве Do (см. п.
2.6.1).
Положения равновесия уравнения (2.6.3) могут претерпевать бифуркации
точно так же, как и положения равновесия обыкновенных дифференциальных
уравнений. В частности, в случае бифуркации Андронова-Хопфа от положения
равновесия уравнения (2.6.3) ответвляется замкнутая траектория; это
означает, что от стационарного решения уравнения (2.6.1) ответвляется
периодическое решение этого уравнения. Условия возникновения бифуркации
Андронова - Хопфа для уравнений с частными производными аналогичны
соответствующим условиям для ОДУ (см. § 2.3).
Рассмотрим однопараметрическое уравнение типа (2.6.3), которое мы запишем
в виде
du* г,, t ч
чг=г(и> ")¦
5*
68
Глава 2
Если взаимно сопряженные комплексные собственные числа оператора IJ A =
dF(uo, а) пересекают мнимую ось в точках ±"а, то в этом случае от
стационарного решения и0 соответствующего уравнения с частными
производными ответвляется периодическое решение, причем период этого
решения асимптотически (при приближении а к критическому значению а*)
равен Т - 2я/ю.
2.6.4. Волновые решения уравнений с частными производными
Попытаемся выяснить принципиальные особенности волновых решений на том же
примере одного дифференциального уравнения
+ (2.6.12)
без граничных условий (рассматривая его при t^O и ге Решение и (z, t)
будем искать в виде
и (z, t)=q>(z - ct) = <p{l). (2.6.13
Подставляя выражение (2.6.13) в уравнение (2.6.12), мы получаем для ф(|)
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
-Сф' = Екр" + f (Ф), ' = . (2.6.14)
Перепишем уравнение (2.6.14) в виде системы двух уравнений, положив Х\ -
ф, Х2 = ф':
X, = Xg,
(2.6.15)
ХЧ ~D Х2 f (^l)1
Фазовым пространством системы (2.6.15) является плоскость хи х2.
и Здесь dv'ldt - kv'- линеаризованное уравнение.
2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными 69
А) Волновое решение типа импульса
Предположим, что система (2.6.15) при некотором значении параметра с
обладает гомоклинической траекторией, "выходящей" из точки (0, 0) (рис.
2.39)
Рис. 2.39. Гомоклиническая траектория системы (2.6.15).
Решение x(?) = (xi(?), *гШ)> соответствующее этой траек-¦тории,
удовлетворяет условию
