Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
содержит членов порядка е2 и е3.
На третьем шаге можно сразу устранить члены возмущения порядка с
четвертого по седьмой. Это следует по индукции из общего уравнения Депри
(2.5.29). Пусть возмущение в Н{п) имеет по-
(2П)
рядок е или выше. Используя преобразование с производящей функцией
win+l), получим а/?+|) = 0, Цп+1) = 0, (7,-1)}п+1) = 0 и Я/"+1) = 0 для
j<.2n. Отсюда находим, что для ш<2'!+1 уравнение (2.5.29) записывается в
виде
D(0n)Wm+l) - tTl (Ят+1) - H^m). (2.6.21)
Следовательно, уравнения с номерами от m = 2п до m = 2"+! -1 можно решить
одновременно.
Отметим, что каждый шаг в методе Колмогорова оказывается намного сложнее,
чем в обычной теории возмущений. Более того, на каждом шаге требуется
проводить интегрирование вдоль новых траекторий системы. Возможно, что
это есть выражение всеобщего "закона сохранения": на одну и ту же высоту
можно взобраться либо за много мелких шагов, либо за несколько крупных!
Мы думаем, что метод Колмогорова не лучший способ выполнения практических
вычислений *). С другой стороны, он совершенно необходим в теории КАМ для
получения сходящихся рядов вне резонансов.
2.66. Периодические траектории
Для замкнутых периодических траекторий в системах с несколькими степенями
свободы удается построить сходящиеся решения. Это становится возможным
потому, что условие точной периодичности позволяет представить траекторию
простым рядом Фурье и избежать, таким образом, появления резонансных
знаменателей
') Это заключение авторов представляется преждевременным, так как еще не
накоплен достаточный опыт практических расчетов с использованием
сверхсходящихся методов. Можно, например, отметить, что если требуется
умеренная точность, скажем, до ~ е3 включительно, то сверхсходимость
заведомо упрощает вычисления (см. [70], § 2.2; 5.1).- Прим. ред.
168
Глава 2
(п. 2.26). Однако, чтобы обеспечить периодичность в рамках теории
возмущений, необходимо изменять начальные условия в каждом из
последовательных приближений, поддерживая частоту неизменной х). Это
отличается от обычной схемы теории возмущений, в которой для заданных
начальных условий точность последовательных приближений повышается за
счет переопределения частоты.
Метод построения периодических решений с фиксированной частотой и фазой
был разработан Хеллеманом, Эминицером и сотр. Этот метод использовался во
многих задачах, например вынужденные колебания ангармонического
осциллятора [116], модель Хенона и Хейлеса [183] (см. п. 1.4а) и
отображение Хенона [178] (см. п. 3.2г). Авторы называют свой метод
"обратным" ввиду отмеченной выше необычной последовательности действий -
от частоты к начальным условиям.
Хотя мера всех периодических траекторий равна нулю, они являются всюду
плотными в фазовом пространстве. Наглядно периодические траектории
соответствуют рациональным числам на отрезке, мера которых равна нулю, но
которые тем не менее сколь угодно хорошо приближают любое иррациональное
число. Поэтому на первый взгляд может показаться, что отыскание
периодических траекторий эквивалентно получению вообще всех траекторий.
На самом деле это не так, поскольку периодические траектории, вообще
говоря, не ограничивают апериодические тр аектории. Даже если в начальный
момент они близки, то позже могут оказаться произвольно далеко друг от
друга в фазовом пространстве. В отличие от этого при двух степенях
свободы инвариантные торы ограничивают близкие траектории и поэтому
являются значительно более важными для описания динамики системы. Тем не
менее и в общем случае периодические траектории могут оказаться весьма
полезными по двум причинам. Во-первых, они могут выявлять некоторые
особенности общей структуры движения, например резонансы различного
уровня с определенным числом вращения. Во-вторых, можно исследовать их
устойчивость, что будет использовано в § 4.4 при определении глобальной
устойчивости движения.
Вариационный метод. Рассмотрим замкнутую траекторию в автономной системе
с N степенями свободы. Движение при этом является периодическим, т. е.
существует N-1 резонансных условий вида
/*•(c) = 0, (2.6.22) где все А-мерные целочисленные векторы 4 линейно
независимы 2).
*) Этот прием, служащий фактически основой теории КАМ, был предложен
Колмогоровым [229] (см. также [11]).- Прим. ред.
2) Вектор основных частот со не имеет в данном случае определенного
смысла [ср. (2.6.24) и (3.1.5)], полная же система частот определяется
соотношением (2.6.23).- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
169
Все частоты являются целыми кратными основной частоты обращения
(c), = /niCOr. (2.6.23)
Это позволяет представить координаты q,- и скорости q,- с помощью рядов
Фурье
со
qj= ? QjJ(tm)1*, (2.6.24а)
m=- со 00
Ч, = ШГ 2 rnQfme1"1'0'*. (2.6.246)
m--оо
Вариационное уравнение для замкнутой траектории удобнее всего записать с
помощью лагранжиана (1.2.1). Из принципа Гамильтона получаем
6 ^ L (<7/, q,) dt = b (L) = 0, (2.6.25)
где (L) - интеграл по периоду обращения 2я/со,.. Считая q,- и q,-
