Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
деформации (19.9); дифференциальные операции над функциями градиента
места или мер деформации ставятся в связь с производными по этим мерам,
формулы (19.20), (19.23).
Содержание главы основано на книгах [3], [4], [6], [10] -[12];
использованы материалы статей:
1.1. Норде н А. П. К вопросу о геометрической теории конечных
деформаций.- Изв. Казанского филиала АН СССР, серия физ.-мат. и
техн.
наук, 1950, № 2, с. 53-61.
1.2. Зубов Л. М. О производной Яуманна для тензора второго
ранга.-
Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки,
1976, № 2, с. 27-30.
К ГЛАВЕ 2
В § 1 введены в рассмотрение массовые и поверхностные силы, пояснено
понятие о силовом тензоре (1.16). В §§ 2-3 в рассмотрение введен тензор
напряжений и приведены уравнения движения сплошной среды. Уточненное
изложение содержания §§ 1-3 см. в книге [5].
Формулами (3.7), (3.14) определены среднее по объему и моменты первого
порядка тензора напряжений. Подробнее об этом -в книгах [2], [8].
Наиболее полно тензор функций напряжений (§ 4) рассмотрен в книге
2.1. К рутков Ю. А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике
теории упругости.- М.: Изд-во АН СССР, 1949.
Мы ограничились только упоминанием о далее не рассматриваемых полярных
средах. См. [6], [8], [10].
В §§ 6-7 введены тензор Пиола (6.2) и "энергетический тензор" напряжений
(6.11). Использование тензора Пиола упрощает многие выводы и соотношения
нелинейной теории. Это можно объяснить простотой представления
(7.5) через него удельной элементарной работы; существенно также, что
уравнения статики, представленные через тензор Пиола (6.4), (6.5),
отнесены к отсчетной конфигурации. Об определении тензоров напряжений см.
также [3].
К ГЛАВЕ 3
В §§ 1-3 приводятся определения простого тела и упругого простого тела.
Изложение основано на сформулированных Ноллом в его хронологически первой
публикации о принципах причинности, соседства и материальной
индифферентности.
3.1. Noll W. On the continuity of the solid and fluid states.- J.
Rational Mech. and Anal., 1955, v. 4, p. 3-81.
498
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вводится понятие простого материала (2.4) и устанавливается его
фундаментальное свойство (2.9). Даются определения упругого материала
(3/:),
(3.10) и приводятся записи (3.15) - (3.18) его уравнений состояния.
Следствием замены отсчетной конфигурации может быть изменение формы
уравнения состояния при неизменившемся актуальном напряженном состоянии,
но не исключена возможность, что эта форма сохранится. Это связывается с
понятием "группы равноправности" материала (§ 4) и со строгим
определением свойства его изотропии (§ 5). Следствием является
соотношение (5.7) - тензор напряжений оказывается изотропной тензорной
функцией правого тензора искажений и поэтому представим квадратичным
трехчленом (5.9).
В §§ 6-8 даются определения и разъясняются понятия твердого тела
(изотропного и анизотропного), упругой жидкости.
Использована литература [5j, [9J, [11].
К ГЛАВЕ 4
В этой главе, как и в последующих 5-8 рассматривается гиперупрутая среда
(упругость по Грину); к определению упругого тела добавляется требование
существования потенциальной энергии деформации -функции градиента места,
вариация которой равна элементарной работе внешних сил ("накопленной
энергии"); через ее производные выражаются тензоры напряжений - см.
(1.4)-(1.9).
В § 2 приведены уравнения состояния ортотроппого и трансверсально-
изотропного упругого тела. Их применение можно найти в книге [1].
Уравнения состояния изотропного упругого тела приведены в § 3 в форме
представления тензора напряжений Коши через меры деформации Фингера и
Альманзи: часто используются формулы (З.д) для главных напряжений и
(3.11) для главных сил. Свойства нелинейно упругого изотропного
материала, таким образом, описываются тремя функциями инвариантов
деформации, например (3.5), связанных дифференциальными соотношениями
(3.G). Линейная теория обходилась лишь двумя постоянными Ляме;
естественно, что многие эффекты нельзя объяснить в ее рамках.
В §§ 5-6 введен тензор 0, которому в варьированном напряженном состоянии
отведена роль тензора напряжений - см. (6.2) - (6.4). Связи 0 с
конвективной производной тензоров Коши и Пиола представлены формулами
(5.9),
(5.10). Последняя указана в работе
4.1. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.
Случай наложения малой деформации на конечную.- Прикл. матем. и
мех., 1971, т. 35, № 5.
Тензор 0 вычисляется по формуле (5.8), менее отчетливо представленной в
[2].
В §§ 7-9 дается определение тензора упругостей - тензора четвертого
ранга, равного производной тензора напряжений по мере деформации, через
которую он выражен. Формулой (7.9) дается его инвариантное представление,
(8.4) - его компоненты. Следует остановить внимание па формулах (7.12) -
(7.14), выражающих коэффициенты Ляме через значения коэффициентов
уравнения состояния и их производных в натуральной отсчетной
