Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
ds,,- = (da3Y+(dd>-y- + {dd3)'i. (1)
Этому представлению, введя криволинейные координаты
ak = ak(q1, q2, q3) (k= 1, 2, 3), (2)
ТЕНЗОР РИМАНА - КРИСТОФФЕЛЯ- ТЕНЗОР РИЧЧИ
487
можно придать вид квадратичной формы
ds2 = gskdqsdqk, (3)
коэффициенты которой - ковариантные компоненты метрического (единичного)
тензора Е, определяемые по заданию преобразования (2) формулами
gsk= у да* да" (s> й = j, 2, 3). (4)
* dq* dqk
т= 1 3
Поставим вопрос иначе: предполагается, что квадратичная форма (3) задана
ее коэффициентами gsiAd1' f/2> ?;1) и чт0 эта форма определенно-
положительная. Ею определяется (при некоторых оговорках) рнмапово
пространство ЬАз-Неизвестным остается само преобразование (2), его
разыскание сводится к задаче интегрирования шести дифференциальных
уравнений (4) с тремя неизвестными а1, а2, а-1. Преобразование существует
лишь при выполнении условий интегрируемости этой системы. Если задания
gsk таковы, что эти условия выполняются, то риманово пространство А1з
становится евклидовым <§3 - положение точки в нем может быть определено в
единой декартовой системе осей, а квадрат линейного элемента представлен
в пифагоровой форме (1).
Определенно-положительная форма (3) может быть линейным преобразованием
приведена к сумме квадратов
ds2 = bi(zl, z2, z:l) dzl2-|- b2 (z1, г2, z',l)dz22jrb3(zl, z2, z3)
dz:,s, (5)
где z/0 - новые переменные, a bк- положительны. Величина }^bk(zl, z2, гл)
dzk не является дифференциалом некоторой величины, и только фиксируя zl,
z2, z3, можно принять dak = Уьк (z1, z2, z3) dzk и этим определить в
окрестности точки ЬАз декартову систему осей - пифагоров элемент длины.
Иначе говоря, возможно локальное внесение в метрики ?3. Выполнение же
условий интегрируемости обозначает вырождение ЬАз в во всей области
задания функций gsk (ql, q2, q3), а не только в "касательном к ,%з
пространстве $3".
Итак, искомые условия интегрируемости обеспечивают существование трех
функций (2) или, что то же самое, возможность задания места любой точки
вектор-радиусом
Г = г (с/1, q2, q3) (6)
в единой декартовой системе осей OXYZ. По этому заданию определяются
базисные векторы r,s, а по ним формулами (4.2) их производные
drs _{ т\
dqt ]
Коэффициенты этой системы дифференциальных уравнений - символы
Кристоффеля, вычисляемые по заданию квадратичной формы (4) по правилам
(4.6). Следствием их симметрии по индексам s, t являются соотношения
= (8)
dq*
гарантирующие интегрируемость выражения
dr = rsdqs, (9)
иначе говоря существование вектор-радиуса (6). Теперь задача сводится к
вопросу о существовании векторов rs-требуется установить, какие условия
следует наложить на коэффициенты системы (7) (в конечном счете на задание
4 88
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
(4) величин gsk), чтобы она была интегрируема. Выражения
(10)
при dqf должна быть равна производной но if коэффициента при dqk
Тензорный характер этих величин обнаруживается рассмотрением разности
компонент тензоров третьего ранга VkVta<lt VtVkaq- вторых ковариантных
производных контравариантных компонент вектора а. Имеем
Подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются при составлении разностей.
Получаем
Следствием этого соотношения и (11) является неоднократно применявшееся
правило переставимости при действиях в $3 индексов ковариантного диффер
енцирования
Доказанное для вектора это правило сохраняется и для тензоров любого
ранга - вышеприведенное вычисление лишь несколько усложняется.
Согласно (12) свертка величин Rkts4 с вектором определяет тензор третьего
ранга. Эти величины поэтому представляют компоненты тензора четвертого
ранга-тензора Римана - Кристоффеля, называемого также тензором кривизны в
В <^3-это нулевой тензор. Четырежды ковариантные компоненты 4R по
(14) и (11) определяются выражениями
Условия интегрируемости записываются в виде
VftV,a9 = ± =
VkX>ta4 - VtS/kOq=as
dqk
I Я \ <L ) 9 \_|J 9\I 9 lJml Vs I dqf \ks ) \kmf \ s< f
(13)
4R ^vWrmRktsm=M4rRktsr.
(14)
Rktsm - SmrRkts? - 8mr
3
\dqk dq*
~YUqm([kq, r] [s/, ttl)~\tq, r][sk, m))
dq
10] ТЕНЗОР РИМАНА --КРИСТОФФЕЛЯ. ТЕНЗОР РИЧЧИ 489
1
- были использованы формулы (4.6). Использовав соотношения
Smr^-hBmq = - gmg ^-bgmr = - gmg([rk, m) + [mk, /•]), dqk dqk
приходим к выражениям
Rkisr^^-r[st, r]~^-\sk, r] ~g">9 {(\rk, m] + \mk, a]) [s/, q) - ([rt, m]
+ dqk dq1
-| [mt, r]) |s?, q] - [km, r] [s/, (?] + ftm> r] [sk, q]}.
Развернув еще выражения символов Кристоффеля первого рода (4.5), приходим
к представлению ковариантных компонент тензора кривизны
Rktsr=l(^_^ + ^^^isL)+s.4[skt q]lrt,m]-[st, q]X
2 \dqkdqs dqtdqs dqfdqr dqkdqr J
%\dqkdqs dq*dqs dq*dqr dqkdqr) ' ' I '
(15)
Структура их симметрична относительно пар индексов (kt) и (sr)
Rktsr = Rsrkt (16)
и кососимметрична по индексам k, t и s, г
Rktrs= Rtksr> Rktsr- Rktrs¦ (17)
Поэтому парам индексов kt, sr надо задавать лишь значения 12, 23, 31, а
комбинируя эти пары, рассмотреть лишь шесть компонент
R1212' -7?] 223> ^1231, ^2323> ^2331' -^3131 (18)
