Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
ранга
из 6! -120 возможных. Окажутся полезными формулы шестикратного
сверты-
вания этих тензоров с тензором шестого ранга ААА, причем А = АТ.
Например,
ЕЕЕ AAA - it (А), ЕС, ААА = Д (А) /г (А2),
Сц-Сщ........ААА = 1Х (А2). (12)
Но инвариантных скалярных структур третьей степени относительно компонент
А, кроме перечисленных в (12), нет. Поэтому к этим же инвариантам
приведет свертывание с ААА изотропного тензора (6) 6С общего вида
6С = 2 аА1сЛ"Сд + гМг* [г* (a10r(i>+aur/erj)-f
К L
+ rt (о12ГЛ-(-а13гл) + гА (а14гл + а13г^)]. (13)
Получаем
6С ААА = 1 К7* (А) + 6Vi (A) 7i (А2) + 8Vi (А3)], (14)
причем vj, v2, v3 линейно выражаются через ак. В применении к удельной
потенциальной энергии нелинейно-упругой изотропной среды Тупин и
Бернштейн [8.13] называют vi, v2, v3 постоянными Ляме третьего порядка.
Правую часть (14) можно записать и в виде
j (ll + 2m) ll (А)-2ml, (А) /2 (A)-(-n/s (А);
7=yVi+v2, /п = v2-f-2v3, n = 4v3. (15)
Через I, т, п обозначены постоянные Мурнагана (F. D. Murnaghan, 1951).
В аналогичном, но более простом виде, представляется четырехкратная
свертка тензора (2) с тензором АА (при А~АТ)
4С АА = 1[А/|(А) + 2[х/1(А2)], (Ю)
% и р-постоянные Ляме второго порядка.
Свертывания тензора четвертого ранга, определяемого двумя симметричными
тензорами второго ранга
AB, AB2, А2В, А2В2; BA, В2А, ВА2, В2Аа,
приводят к четырем инвариантам
МA-В), 1г (A-В2), /4 (А2• В), Ii (А2-В2).
Добавив к этому перечню шесть инвариантов /4 (A*), /i(BA) (k=l, 2, 31,
получаем десять совместных инвариантов двух симметричных тензоров.
Совместные инварианты /2, /3 выражаются через перечисленные с помощью
формул (7.9), (7.10) и теоремы Гамильтона - Кэли *).
*) Спенсер Э. Теория инвариантов.- М.: Мир, 1974.
"11
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
447
Приложение II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Линейная функция тензорного аргумента
Рассматриваются линейные однородные функции компонент тензора первого
(вектора а) и второго (тензора Q) ранга. Эти функции могут быть
скалярными ф, векторами с, тензорами второго ранга Р. Они задаются одним
соотношением в первом случае, тремя и девятью-во втором и третьем (три
компоненты cs, девять pst в избранном базисе Гу)
Ф (а) = mkak, ф (Q) = mstqis, (la)
cs (eL) = ms1af, cs(Q) = mstrqrt, (16)
Pst (a) = mstrar, pst (Q) = mstrnnqnm. (1b)
По определению после перехода к новому базису Гу скаляр ф остается
неизменным, a cs, pSf должны преобразовываться, как компоненты вектора и
соответственно тензора второго ранга. Тогда mt,, mSf, mstr, mSfmrl должны
быть компонентами в базисе Гу вектора гп. тензора второго М, третьего ГМ
и четвертого 4М рангов
Ф = ш-а, ф--M-.Q, (2а)
с = Ма, с = 3М ¦ • Q, (26)
Р = 3М-а, P = 4M.Q. (2в)
Доказательство основывается на правилах (1.7.2), (1.7.3). Например, для
второго соотношения
qts - qtimft -гнг5 • тт, q> = mstqts --=qnmri-rnrs-'rmmsi.
Определив величины ттп формулами преобразования компонент тензора
mm" = mstTm-T4n-Tt,
получаем, как и требуется
ф = ^"/пж" = М..О.
Аналогично проверяются остальные записи.
Примерами линейных функций над тензором служат
Ф (Q) = Е• - Q= /, (Q), P(Q)=C,..Q = E/1(Q),
P(Q) = Cn--Q = QT, P(Q) = Cnl-Q = Q W
- тензору 4M приданы значения изотропных тензоров С*.
Свертка изотропного тензора - е с вектором ш определяет по (1.14.9)
крсосимметричный тензор, а двукратная свертка с тензором второго ранга -
вектор 2(0 по (1.14.17).
Квадратичная форма компонент Q-скаляр, определяемый формулой (2а), в
которой вместо М взята линейная функция от Q, т. е. Р [см. (2в)]. Имеем
ф(Р(Ц))--=ф(4М..0)= (4M..Q)..Q = rn"<n'nqmnqkl. (4)
Заданием этой формы тензор 4М определен при переставимости пар (Ik), (пт)
milium = mnmlh (5)
- подобно этому по заданию квадратичной формы qstasat определяется только
симметричная часть тензора Q.
При Q=QT
psi-= msimnqnm, mstmn = mstnm,
448
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
а при Р = РТ
pSt-_=pis = ms\mnqnmy mstwn - jfltsmri'
Если симметричны оба тензора
Q = QT, P(Q) = [P(Q)]T,
то тензор 4М симметричен по индексам в каждой паре
mstrnn = m1smn = mstnrn щ
и число его компонент снижается от 81 до 36, а при преобразовании (5) до
21.
В линейной теории упругости роль тензоров Р и Q отведена
тензору напряжений Т и линейному тензору деформации е,
4М - тензор упругих модулей.
'обозначаемый 4С
Т = 4С- - е (7)
и поскольку Т, е-симметричные тензоры, число упругих модулей равно 36
("упругость по Коши"), Квадратичной формой (4) определяется удвоенная
потенциальная энергия в единице объема
21Г = Т--е = (4С--е)--е. (8)
Существование ее, обусловленное выполнением соотношений (5),
d2W d2W
др -cstmn-z а - Cmnsi' Ы)
vtsf иьтп иьтп Ubst
доводит число модулей до 21 ("упругость по Грину").
§ 2. Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по
тензору
Функция компонент qst тензора Q, заданных в 1убазисе
ф = ф(?п. <?22> • • •• ?31). (О
представляет скаляр ("скалярнозначна"), если ей приписывается
одно и то же
числовое значение в любой координатной системе
