Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
155'
ния порядков и потому должны применяться с осторожностью. Для медленных
возмущений оператор Ли имеет вид
L = Lf + eLs, (2.5.45>
где быстрая часть
L,= (--- (2.5.46а>
' I дв dJ dJ дв j к '
а медленная
?S=V( ---------------------------------------------а. (2.5.466)
х ' д(еа (ер.) д (ер,-) d(eqi)
и w ~ w (J, 0, еу, et). Из выражения (2.5.23) видно, что Тп 1
определяется через коэффициенты степенных разложений L; и Ls как полином
п-го порядка по е. Наконец, член dwjdt в уравнении (2.5.29) имеет порядок
е: dwjdt -edwjd (et). Для решения этого уравнения можно разложить wn и Нп
по степеням е, например:
ОО
wn = eVw, (2.5.47)
k=0
и приравнять в (2.5.29) коэффициенты при одинаковых степенях е. В
результате получается цепочка уравнений, из которой можно,
последовательно найти wno, wnl ... . На каждом шаге выбирается так, чтобы
устранить секулярность по быстрой переменной 0. Фактически в п-м порядке
теории возмущений необходимо найти члены wmk только для m -f k ^ п. Эта
процедура эквивалентна в любом порядке описанному в § 2.3 методу
усреднения. Она является более удобной, поскольку в порядках величин
быстрых и медленных переменных автоматически устанавливается разница на
единицу; это позволяет проводить усреднение по быстрой переменной в любом
порядке теории возмущений и исключать возникновение секулярных членов.
Однако все присущие методу усреднения ограничения (см. § 2.3) проявляются
и здесь.
Первое уравнение цепочки (k = 0) есть
О>0-^5- = п(Я"о-Я")- 2 {If. n-mHm0 + rnftn-mHm), (2.5.48).
50 m=l
причем выражения для Tfl получаются из выражений (2.5.25) заменой L на Ц.
Каждое уравнение цепочки имеет вид
со9^ = п77", + Ф, (2.5.49)
да
где Ф - известная функция медленных переменных и времени. В процессе
решения этой цепочки уравнений резонансные знаменатели никогда не
возникают, ибо левая часть (2.5.49) является
156
Глава 2
производной только от быстрой фазовой переменной. Однако, как мы уже
знаем, резонансы между быстрыми и медленными колебаниями приводят к тому,
что ряд, представляющий wn, оказывается ас имптотическим.
Процедуру получения инварианта выше первого порядка лучше всего
продемонстрировать на конкретном примере. Вначале мы продолжим вычисления
п. 2. Зв и получим адиабатический инвариант второго порядка для медленно
изменяющегося гармонического осциллятора. В качестве второго приложения
теории найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле
высокочастотной электростатической волны.
Медленно изменяющийся гармонический осциллятор. Из выражения (2.3.25),
обозначая штрихом дифференцирование по аргументу et и записывая для
простоты со вместо со0> получаем гамильтониан
H = o"J + e - - J sin 20, (z.5.50)
2 со
где
ю = со(еО. (2.5.51)
Примем в выражении (2.3.23) G = 1, F - со2 (е^). В нулевом
порядке Я0= Я0; в первом порядке уравнение (2.5.31а) имеет вид
?0^+е^1_ = Я1_Я1. (2.5.52)
дв д (et) 1 v '
Чтобы решить это уравнение с точностью до е, полагаем
^1 = ^ю + е^ш Я, = Яш + еЯ", (2.5.53)
что приводит к системе с
и J^ = 7710 - J sin 20, (2.5.54а)
50 2 со
и *?1_ = ЯП1 (2.5.546)
50 J 5 (et) К '
Чтобы избежать секулярности в w10 и wllt следует выбрать Я10=0 и Яи = 0,
поэтому
Я, = Я10 + еЯи = 0. (2.5.55)
Интегрируя (2.5.54а) и подставляя полученное выражение для w10 в
(2.5.546), находим
Щ = Що + воуц = - J cos 20--------------- ('l J sin 20. (2.5.56)
4 со2 8ш \ со2 /
Каноническая теория возмущений
157
Во втором порядке уравнение (2.5.316) принимает вид
со + е= 2 [Н2-Н,)-и (Ну + Ну). (2.5.57)
50 д (et)
Поскольку это уравнение следует решить в нулевом порядке по в, опустим
второй член в левой части, а во втором члене правой части положим Lt= LfX
= [даю, J; с учетом #2 = 0, согласно (2.5.50), получим
°" = 2^*о- (2-5.58)
д0
Скобки Пуассона
Ко, (2.5.59)
4 со3
не содержат переменной части. Чтобы избежать секулярности, полагаем
^20=-----------------------------------(2-5.60)
8 ш3
откуда да20 = О-
Подставляя вместо формальной переменной 7 переменную 7, для нового
гамильтониана второго порядка находим
Я = со7 (2.5.61)
8 со3
Дифференцируя это выражение по 7, определяем новую частоту
(0=<М
--(-У
8 \ со2 /
(2.5.62)
Согласно (2.5.8), можно выразить новое действие 7 через старые переменные
7 =77. (2.5.63)
Используя (2.5.24а) и (2.5.246), во втором порядке имеем
7 = 7 -е[даь /] + -у-[да10, [да10, /]]. (2.5.64)
В эту зависимость входит функция первого порядка wv Используя
определяющее ее выражение (2.5.56), получаем
7 = 7 ' е
7 sin26 + (Л^У J + -5- //cos 20.
2 со2 8 \ ш2 / 4со \ со2 /
(2.5.65)
В силу (2.5.61) 7 = const, и соотношение (2.5.65) описывает инвариантные
кривые на плоскости (/, 0). Этот результат совпадает
158
Глава 2
с полученным в работах [282, 391, 429], однако использование
преобразований Ли позволило существенно упростить вычисления.
Движение в быстро осциллирующем поле. В качестве второго примера найдем
среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле электростатической
