Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 581

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 575 576 577 578 579 580 < 581 > 582 583 584 585 586 587 .. 742 >> Следующая

= l + r]N-b=l, N-b = 0,
так как det (Е + Л^Ь) = 1+r|N-b.
Теперь no (8) и (11) приходим к соотношению связи
N-b-X = = = 0, (14)
i- 1 /=1 i-\
налагаемой на переменные xi в несжимаемой среде. Поскольку vt > 0, оно не
удовлетворяется, если xt, х2, х3 имеют одинаковые знаки-два из восьми
октантов пространства этих переменных выпадают из рассмотрения. Сочетания
знаков в остающихся исчерпываются формулами
1. > 0, х2 < 0, ха < 0, 1'. < 0, х2 > 0, х3 > 0,
2. х2 > 0, х3 < 0, хг < 0, 2'. х2 < 0, х3 > 0, >0,(15)
3. х3 >0, < 0, х2 < 0, 3'. х3 <0, хг > 0, х2 > 0.
При обозначении
1*/1 = +?/ (i= 1,2,3) (16)
приходим к рассмотрению лишь трех комбинаций решений уравнения (14)
(1, 1 ) Xi ^ it X3~^-V3^31 Ех(tm)^2 + Ез"
(2,2) Х2 - it Ц2?2, Х3 = -(- 03|3, Xi = -р , Ег = Ез + , (1
(3, 3 ) Х3 = it Usis, .^1 " I ^*1^1" Х2 - "t ^2^2, Ез ~ El + Е2¦
Верхние знаки соответствуют случаям 1, 2, 3, нижние - случаями Г, 2', 3'.
4. Задача сведена к определению условий неотрицательности трех форм от
двух неотрицательных переменных, получаемых поочередным исключением хи
х2, х3 из выражения (13)
Г (Е., Е3) = ет+2/gfoE, + ж,
Г (Е" Ех) = Ж + 2/siEsEi + да, (18)
г (Ei, у=т'Е?+2/йу2+т.
По (3), (4) и (6), (7) коэффициенты этих форм оказываются равными
/8? = /а -3nvf + 322v!-2 (alt -++>
Ш = fn = 322^1 + 333^1-2 (э23 -1^2) v2v3,
527] КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ 403
fix = т. = Ззз^ + - 2 (э31 - jjj) V,Vlf
fu = 2uVl + (Эзз+j??3) V& -
~~ (Эз1 ~ъТъ) из1>1~{Э12~щТщ)VlV*' ^
/"' = 322v\4- (731 + V3vt -
;3U1
v.v,- ( э23-
12 ox+o*; iw* v"23 °*+v3
fui = 9"vl+ (э12 4 jElj) ^
>23 ~^31 ад - (э" i 0,0,
0.+ 0.У * 3 \ 31 V3+Vl
Необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы
двух неотрицательных переменных zlt г2
/ = an2i + 2a12Zj22 -f- a22zl (20)
выражаются неравенствами
Цц 14 0, и22 (4 О
и,
если й12<0, то аиа22- аХ2^0.
(21)
Действительно, условия ап ^ 0, а22 J4 0 гарантируют неотрицательность
формы при z2 = 0, zx4=0 или соответственно z1==0, г24=0. При а12^0
трехчлен
flu 4 2а12м 4 fl22u2
не имеет положительных корней, а при апа22 - af2^0 не имеет вещественных
корней. Критерии (21) можно записать и в единой форме
4l =4 ^22 3=^ ^Г^11^22 4 ^12
Алгебраические критерии эллиптичности (или выполнимости неравенства
Адамара, или положительности квадратов скоростей распространения плоских
волн) сведены к девяти неравенствам: к трем неравенствам
fu = № 4 0, /й> = /">> 0, /й> = /й>^ 0, (23)
к трем неравенствам
УШЧ-т'^о, У]Ш+№>о, VWW+№> о (24)
404
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
и к трем .(c)(^-критериям (10). Формулы громоздки, но вычисления по ним при
явном задании функциональной зависимости н2, v3) или э{1х, /2) не могут
встретить затруднений.
4. Для материала Муни - Ривлина (7.4.1) все неравенства соблюдены.
Например,
и, напомним, Cj > 0, С2 > 0. Материал эллиптичен при любых деформациях.
В качестве второго примера рассмотрим материал с удельной потенциальной
энергией деформации
э1=2н1э', эп = 2э' + 4н|э", э12 = 4у1у2э" и т. д.,
причем э > 0 по (10). По (19) получаем
соблюдены три неравенства (26) и, конечно, три неравенства (25).
э = э(/1) = э(у? + ^ + vl).
Здесь
у АУ = (г>1 + Щ)2 [э' + 2э" (Wj-у2)2],
-2 /зУ = (и, +^i)2 ["' + 2э" (и, -иД*],
у /я = (Wi + V,) ("1 + ия) [s' + 2э" (и, - и,) (и, - и,)]
и т. д. Требуется удовлетворить трем неравенствам
э' +2э" К-Из)2 >0, э' + 2э" (v2 - v3)2 > 0,
э'+2э"(и3- и1)2^0 и, скажем, при < 0 неравенству
AVAV-(ZD2 > о,
(25)
(26)
приводимому к виду
(27)
§27] КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ 405
Примем теперь э" < 0 и пусть их ^ и2 ^ и3. Три неравенства (25)
выполняются при
э'>2|э"|(^-н3)2 (28)
и этого достаточно, чтобы выполнялись три неравенства
/м >0: э'^2|/| (Hj-н2) (нх - и3),
/?> >0: э' > 2 | э" | (и2 - и3) (их-н2),
Д32> > 0: э' > 2 | э" j (их - и3) (и2 - и,).
Отметим, что для рассматриваемого материала неравенство
(28) подтверждается неравенством (26.30).
F
Глава 9
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
§ 1. Уравнение баланса энергии. Первый принцип термодинамики
Полная энергия в объеме V сплошной среды определяется суммой его
внутренней энергии <§ и кинетической энергии Э?
<В + Ж. (1)
Закон сохранения энергии выражается уравнением баланса
? + Ж = + (2)
Его левая часть представляет изменение полной энергии в единицу времени-
ее материальную производную. Первое слагаемое правой части было
определено соотношением (2.8.13), как отнесенная к единице времени работа
внешних (массовых и поверхностных) сил
5^j?> = g? + jj'j'T..Ddy. (3)
v
Второе слагаемое Q - подведенное в объем за единицу времени тепло -
"нагревание".
Речь идет только о механических и тепловых процессах; энергии прочих
процессов, скажем, электромагнитных явлений и химических превращений, не
включены в рассмотрение. Нагревание (2 входит в уравнение баланса (2)
равноправно с первым слагаемым, это соответствует принципу Джоуля-Майера
экви-лентности тепла и работы. Конечно, @ измеряется в единицах мощности.
Предыдущая << 1 .. 575 576 577 578 579 580 < 581 > 582 583 584 585 586 587 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed