Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 58

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 742 >> Следующая

Hi = (3 - 4 cos 20 + cos 40).
Выбирая Нх так, чтобы исключить порождающее секулярность среднее от И ъ
имеем
Я1(У) = (Я1)= X-GJ\ (2.5.34)
lb
где скобки ( ) означают среднее по 0. Уравнение (2.5.33) принимает вид
(2-5-35>
дв
где скобками {) обозначена переменная часть. Интегрируя (2.5.35), находим
выражение для
Wi - -^-------(sin 40-8 sin 20). (2.5.36)
192 ш0
Заметим, что в первом порядке Ях в (2.5.34) и в (2.5.36) совпадают с
полученными ранее выражениями (2.2.23) и (2.2.25), где вместо J
фигурирует J. Переходя ко второму порядку, переписываем уравнение
(2.5.316)
050-$- = 2 (Я2-Я2)-L, (Т/i+ Я0 (2.5.37)
(70
через средние и переменные части в виде
"о~ = 2(Я2-<Я2>--{Я2})-2[ш1, (Hi)]-[wu №}]. (2.5.38)
(70
Снова выберем Я2 так, чтобы обратить в нуль среднее от правой части этого
уравнения. Среднее от первых скобок Пуассона уже
Каноническая теория возмущений
153.
равно нулю, так как w± содержит только переменную часть. Вторые скобки
Пуассона есть произведение двух функций и их среднее отлично от нуля.
Положим
H2 = (Ht) + -L([wlt {Н,}]). (2.5.39)
Выражая второй член с помощью (2.2.226) и (2.5.36), находим
l"h., [Ях}] =------------------(17 -9coS20 + cos60). (2.5.40)
1152 ш0
Используя это соотношение и (2.2.22в), получаем
1 G2J3
Я
2
256
Заметим, что Я2 не есть просто среднее от Я2, а содержит дополнительное
слагаемое, квадратичное по величинам первого порядка. Для получения Я2
достаточно знать w1 и вообще для определения Нп необходимо иметь w вплоть
до порядка (п-1). Чтобы найти да2, надо проинтегрировать уравнение
(2.5.38), которое с учетом (2.5.39) принимает вид
щ^-=-2\Н2}-2[шъ <Я1)]-{[Ш1> (Я,)]). (2.5,41)
Решение этого уравнения не представляет большого интереса и здесь, не
приводится. Суммируя Я0, Ях и Я2, получаем во втором порядке (е = 1)
Я = <й0/ -GP !------------------------(2.5.42)
16 256 ш0
На первый взгляд кажется странным, что новый гамильтониан является
функцией только старого действия J. Последнее становится,, однако,
понятным, если учесть, что в методе Ли определяющими являются операции
над функциями, а не над их аргументами. Это видно уже из вывода
преобразования (2.5.8) с помощью преобразования функций (2.5.6).
Аргументы же функций [например, J в
(2.5.42) ] являются формальными переменными и должны быть заменены в
конце вычислений на преобразованные переменные
[J ^/(е)]1).
Так как Я зависит только от J, то новая частота с точностью до второго
порядка равна
- dH
(0 =------------ = 00п
dJ
j 1_ GJ 3 G2J
256 СОд
(2.5.43а)
*) Отмеченное выше недоразумение связано просто с неудачным обозначением;
гамильтониан (2.5.42) зависит не от старой, а от формальной переменной,
которую следовало бы обозначить другой буквой.- Прим. ред.
154
Глава 2
Это выражение следует сравнить с результатом (2.2.24) первого порядка.
Исключая действие J из (2.5.43а), с помощью соотношения Н (J) = Е -f F,
где Н (J) дается формулой (2.5.42) с заменой J на J, a coo = FG, получаем
зависимость частоты колебаний от энергии
(2.5.436,
Эта зависимость показана на рис. 2.2 в виде кривой 3.
2.5в. Адиабатические инварианты
Несмотря на влияние резонансов, которое даже в первом порядке по е
приводит к локальному изменению или разрушению адиабатических
инвариантов, часто возникает необходимость в получении асимптотических
разложений более высоких порядков. Такие вычисления оказываются очень
громоздкими, если используется процедура усреднения Крускала или
Боголюбова, потому что выполнение совместных обратных преобразований
переменных быстро усложняется. Явные выражения для преобразований до
второго порядка были получены в работе Мак-Намары и Уайтмена [292];
конкретный пример, использующий некоторые упрощения, рассмотрен Нортропом
и др. [321 ].
Другой, более простой метод, использующий скобки Пуассона, был предложен
еще Уиттекером [430] и развит в работах МакНамары и Уайтмена [292] и
Джакалья [153]. Оба метода по существу эквивалентны до второго порядка,
как было показано МакНамарой и Уайтменом [292 ], а для некоторого класса
задач и во всех порядках, согласно Штерну [391 ]. Позднее Мак-Намара
установил [290], что использование скобок Пуассона является частным
случаем метода преобразований Ли. Последний метод сменил старую технику,
в том числе и с использованием скобок Пуассона; он положен в основу
нашего описания адиабатических инвариантов высших порядков. Подробности
старых методов можно найти в цитированных выше работах.
Порядки величин при адиабатическом возмущении. При медленном возмущении
гамильтониан имеет вид (см. п. 2.3а)
H = H0(J, 0, еу, ef) [rzH1(J, 0, еу, ei) + . . . . (2.5.44)
Здесь J, 0 переменные действие - угол для единственной быстрой степени
свободы и у = (р, q) - обобщенные переменные остальных медленных степеней
свободы. Порядок производных по у и по времени t на единицу выше порядка
тех членов, из которых они получены. Построенные в п. 2.56 ряды не
отражают этого измене-
Каноническая теория возмущений
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed