Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
причем здесь
IrlM'F'N+MAN'F-N-N.p.N)] bsk +
+ y32 (N• F • t^N - F-tft~ N¦ F¦ Ntj - F-tft)4-9uN• F -tfN • F-t^.^-
+э22 [N • F2-LN • FM. +/fN • F • t.N-F • t.ft-- / j (N • F2• tjN • F ¦
tft + N • F • tjN • F2 • tft)] +
+ 3i2 [2/XN • F • tfN • F • tft - N - F-t4N - F2- tft - N • F2- tftN ¦ F
• tj; (14)
s, k = 1, 2, a -символ Кронекера.
Переходим к рассмотрению частных случаев.
1. Главные волны. Нормаль N совмещается с главным направлением ех меры
Фингера; можно принять tt = еа, 1, = е3,таккак векторы t1; t2 определены
с точностью до поворота вокруг N. Получаем
^11 = jU?(3i+32o§), Я22 = уП?(э1+э2а |), к1г = О,
так что
qx =1п?[(э1+э2п1)е2е2 + (э1 + 9ап1)е3еа], (15)
и квадраты скоростей главных поперечных волн, распространяющихся в
направлении ех и поляризованных в плоскостях (е1( е2), (elt е3),
представляются формулами
% = Э1 + Э2п2, lp^L=9 +e 0J. (16)
2 Vi 2 Vi
Аналогично получаем, совмещая N с е, и е"
-ip^- = 9i+92vf, 1р -% = э1 + э2п|, (17)
2 V2 2 V2
= + -ip ~=9! + 92vl (18)
2 и3 2 у3
Сославшись на уравнение состояния (3), имеем
1 0J - 02 _ п " ",2 1 02 - 03 _ " , " "2
1 0з -0i
0 2 2 о 2 2 1 ' 2 1> "22
2 Vi-V2 2 V2 - V3 2 V3 - V1
и это позволяет придать выражениям квадратов скоростей главных волн вид
396
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
При выполнении 33(?-критериев, иначе говоря, пока материал остается
сильно эллиптическим, скорости вещественны - по главным направлениям меры
Фингера распространяются плоские волны. Это -необходимые условия
устойчивости среды, но они неполны, так как не исключена возможность, что
по направлениям, не совпадающим с главными, скорости не вещественны.
При невыполнении одного из$(?-критериев несжимаемая среда в однородном
напряженном состоянии неустойчива.
2. Плоская задача. Следуя Ривлину и Сэйрсу (1973), рассмотрим волны в
плоскости (ej, е2), линейно поляризованные в этой плоскости, так что
причем, как и выше, е^ -главные направления меры Фингера. Здесь в
соответствии с принятыми обозначениями
причем с12 -скорость волны в плоскости (е1( е2). При О
получаем
+ ^32[/1N-F-N-N-F:!-N + (N-F-t2)2-N-F-Nt2-N-t2] +
иным путем полученным в упомянутой работе Ривлина и Сэйрса.
w-N = 0, we3 = 0, N-es = 0, N = e1iV1-|-e2iV2, (20)
e3 = tt, t2 = Nxtt = - N^ + Nfr, (21)
и уравнение (10) приобретает вид [^11(r)3(r)3 "f" ^12 ((r)3^2 "f" (r)2^з) "4"
^2212^2] ' (r)2^2 =
= (^"12(r)3 "4" ^22^2) ^2 = P^12 ^2^21 (22)
(23)
и no (14)
^22 = ±9in-f.n +
и т. д. Приходим к формулам
^¦рс!а=(э1 + и1э2) Nivl + Nivi +
Э1 + 32v3
>26]
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
397
Принимается, что э1 + ф2>0 - в противном случае однородное напряженное
состояние было бы неустойчивым при распространении главных волн.
Необходимым условием устойчивости его для волн рассматриваемого здесь
типа служит поэтому положительность величины
Ф3 = Nlvt + N\v\ + 2N\N\ (vf - vir В,,
Эц-р 2эг2Уз -f- э22р3
(25)
3x-f 32Сз
Знак Ф3 обнаруживается из рассмотрения волн, для которых
N1
v2
N1
Vl
(26)
Pl+ v2 ' 2 V1 v2
удовлетворяют требуемым условиям N\-\- N\-l, O^Nl^Ll, Получаем
Ф3 = о1о2[1+2(о1-о2)2В3], (27)
так что
Ф3^0 при В3 = ~ -lev v2)~*. (28)
Аналогично для волн в плоскостях (е2, е3), (е3,
при Вг =
~f~ 2^1 ^12 ~f~ ^22^'i -
Эц -|- 2^2^12 "Ь ^22^2 -
i(u2-ig-2,
(29)
ф2г&0 при 52
51 + э2Р2
Необходимым условием устойчивости является соблюдение этих трех
неравенств с верхним знаком (>). Неустойчивость имеет место, если хотя бы
одно из них выполняется с нижним знаком (<).
3. Материал Муни - Ривлина. Для него
э = С1(11 - 3)+С2(/2 - 3), э1 = С1> 0, э2 = С2^ 0. (30)
Здесь Эц - э22 = э12 = 0 и, опустив громоздкие элементарные
преобразования, приходим по (14) к формулам
2^u = s1N • F- N + э2
2Х12 - 3jN • F ¦ N + э2
2к12 - э2 причем здесь
1 \ 2
,2 \2 / ,3 \ 2
1 ' _j_' 1
4)4
"" , т , т
vl vl Уз .
(31)
(32)
(33)
= t2 = t
2
(?=1,2,3)
398 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
- компоненты векторов tx, t2 по главным направлениям меры деформации F.
Главные значения акустического тензора определяются корнями квадратного
уравнения
сг2 - (Хп Х22) сг -f- XnX22 Xj2 = 0 (34)
и, поскольку Хп >0, Я2 > 0, по (30) приходим к неравенству
^32-^2 >0. (35)
Оно же по (31) -(33) преобразуется к виду
a2(N • F' N)2 + 31a2N • F- N
1 -N\ 1 -n\ , l-Nl
S' 2 I 2
Vi V2 V3
+
+ "I |4t №tr + (wr - ШПЩ+
I ViVt
1 г/j9.jn\q, I rw2V2/3/31
2лт2+т2-ы1т1]+
V3V3
1
2 2 V3Vi
и выражение в фигурных скобках оказывается преобразуемым по (4) к виду
-4 (#s - №+-4т {tm - т*+4т ("fl - tin)=
Р1Р2 ^2^3 Р3У1
= v\N\ + v\N\ + v\N\ = N • F • N.
Приходим к неравенству
9i2N • F • N -f
1,0 ( t 1-JVl , i-tfl
+ 3132 ( --------2 Г
Pi vl vl
> 0 (36)
и этим устанавливается устойчивость материала Муни - Ривлина.
Иным способом при отличающейся от (10) и (11) форме записи уравнения
распространения плоских волн задача рассматривалась Ривлином и Сэйрсом
(1977). В их работе устанавливались критерии устойчивости не только
материала Муни- Ривлина, но и материалов с потенциальной энергией 9 =
