Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь интегралы (8) преобразуются к виду
\т
dx1 dx2dx3 =
лш
-f
Г
,( х'-Хо
dx1
г-
як
x2-xl
V h"
dx2
-х0
dx3.
При обозначениях
[r\t)dt = a, lf2(t)dt = $ (о>0, р>0)
13"
388
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1гЛ. S
получим теперь
К
После подстановки в (8) приходим к неравенству
2я* j Я (Ю'dx'dx'dx'=ч**а*. (д+if+д) > "•
*-1 и
откуда и следует, что
(6= 1,2,3),
причем одновременное выполнение трех равенств исключается. Этим завершено
доказательство теоремы:
устойчивость равновесия => условие Адамара.
§ 24. Сильная эллиптичность и устойчивость
Обратное предложение:
сильная эллиптичность => устойчивость аффинной
равновесной конфигурации
может быть доказано для первой краевой задачи - перемещение задано на
всей поверхности тела - налагаемое поле возможных перемещений подчинено
требованию
на О: w = 0. (1)
Его можно мыслить осуществимым, предполагая, что в натуральной
конфигурации тело заключено в абсолютно твердую обойму и предотвращены
смещения прилегающих к ее внутренней поверхности частиц среды.
Предполагается наличие приспособления, допускающего изменение размеров
аффинно преобразуемой обоймы.
В рассмотрение вводится вектор
w/ 1 2 \ w(^' ?*' ?3)' W1.
W(? ' " ' ")"( о, (?¦,,•,"•)€*, (2)
непрерывный по (1) и кусочно дифференцируемый в g3. Это
позволяет заменить (23.1) выражением
55JvwT-.a0 о • -VwMy = 5J5 VWT--э0 0 •-VW' dv, (3)
V VR VR <?з VR VR
в котором, напоминаем, Эо 0 -не зависящий от координат
VRVR
тензор четвертого ранга.
§ 24] СИЛЬНАЯ эллиптичность и устойчивость 389
Определенный в <§3 вектор W представйм преобразованием Фурье
W(<7\ ?2, ?3) = (2я)-3/^^ехр(г-ш)С((о1, со2, о)3) йоз1йох2йозя, (4)
причем С -трансформанта Фурье вектора W
С-= (2л)~3/г ехр (-ir-co)W(i71, 172, q3)dv. (5)
<§з
Обозначая чертой над буквой переход к сопряженным величинам и переходя к
декартовым координатам ач, имеем
Шо ° ^ crcd^r dWs
VW'..S" " =
= >T farts ^ tco?) Cr (- ico) (no,) C* (tco) <4% d<a2do)3, (6)
qrts -"
причем последнее равенство -следствие теоремы Планшереля и теоремы о
дифференцировании -трансформанта производной функции по ат равна
произведению tcom на трансформанту функции. Равенство (3) теперь
переписывается в виде
5JJvWT--a0 о • -VWTdn= Ao'biO'Ptd^dettdxo^
?3 VRVR -°° rs qt
= Ш Х!С|2сЛ X. Ачги ^e^td^d^d^, (7)
-оо rs qt
причем введены векторы с, со
С s (Од
г =-------- р --
5 | С I ' Я со '
Для сильно эллиптического материала квадратичная форма компонент
единичного вектора е
qt
определенно положительна. Пусть Xrs - ee наименьшее собственное значение.
Через е > 0 обозначим наименьшее из %" и заменим Krs при r=?s нулями.
Имеем
%A*rt*elft>e8rs,
qt
Ц X X A4rtS e4et > 6 Ц X сл = ? X СА= 6
390 МАЛАЯ ДЁФоРмАцйя НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА 1гЛ. 8
и, возвратившись к (3) и (7), получаем Г Г Г VwT • -э0 0 • • VwT dv > e i
i i У, to; I Cb I2 cfo, da), diо, =
•'p VRVR i.k
<*>
/. к v j, k
jy <3
Этим доказано, что равновесная аффинная деформация сильно эллиптического
материала в условиях первой краевой задачи устойчива.
Сильная эллиптичность -свойство материала в некоторой области
деформирования. Например, для полулинейного материала эта область
определяется неравенствами (5.5.20), для материала Блейтца и Ко -
неравенствами (5.6.16); гипотетический материал (5.6.17) сильно
эллиптичен при любых деформациях.
Когда в описываемом здесь "мысленном эксперименте" определяющие аффинную
деформацию параметры выходят из области сильной эллиптичности, ранее
устойчивая ^-конфигурация перестает быть устойчивой. Сменяющая ее новая
равновесная (fy3)-конфигурация, если она существует, не аффинна,
потенциальная энергия в ней меньше, чем в aJf3. Процесс перехода из ^ в
должен сопровождаться перемещениями частиц тела в занимаемом им
фиксированном объеме. "Материалу некуда деваться" - следует ожидать
появления в устойчивой ^-конфигурации (с минимумом энергии) появления
складок, точек и линий разрыва производных.
§ 25. Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме
Диск единичного радиуса в отсчетной натуральной конфигурации заключен в
цилиндрическую обойму, снабженную приспособлением, допускающим изменение
ее внутреннего радиуса. Материал обоймы (полого цилиндра и покрывающих
его плит) - абсолютно твердый. Предполагается отсутствие перемещений
частиц материала диска относительно покрывающих его поверхностей обоймы.
В частности, компонента тензора удлинений по направлению,
перпендикулярному плоскости диска, и3=1.
Материал диска - полулинейный. По (5.5.20) он остается сильно
эллиптическим при выполнении неравенств
К0 = щ + и2 - у4^>0,
Д = (1-v)a1 + w2 - 2v > 0,
L-г = vo, -j- (1 - v) i>2 - 2v > 0.
§25] ПРИМЕР. ДИСК В ЖЕСТКОЙ ОБОЙМЕ 391
Область сильной эллиптичности - устойчивой аффинной деформации- в
квадранте ty > О, v2 > 0 плоскости щ, v2 ограничена отрезками с
координатами концов
[(0; 2), (у^,; l) на прямой Ьг = 0,
(2i °)- на прямой L2 = 0, (2)
(г=^Н 1) > (*; гЬ) на прямой Ь0 = 0
И расположена над ними. На биссектрисе угла между осями vt, v2
