Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
тензора положительны при любом выборе &ф0.
Если f (х)- выпуклая функция для всех х > 0 и материал с удельной
потенциальной энергией э сильно эллиптичен, то таковым же будет материал
с удельной потенциальной энергией /(э). Действительно, при обозначении
Ф (л) = э (VR + ti^R • ab), Е(т]) = /( ф(т]))
имеем
(л). F" (л)--=^-[ф' 0l)]s + ^V0l).
так что
d?f ' 0
[Е"(л)]ч=о=-^г(*о • • ba-VR1
VR
+ ?fba-VRT--50 0 --ba-VR^>0, (17)
Т V VRVR /
так как по определению выпуклой функции /ф >0, fф > 0.
Приводимый в заключение пример*) иллюстрирует, насколько неравенство
Адамара менее ограничительно по сравнению с критериями выпуклости вида
(1). Рассматривается материал с удельной потенциальной энергией
деформации (5.6.17)
+ (18)
1
сильно эллиптический при любых деформациях.
*) Сообщил автору Е. Л. Гурвич.
>22]
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
385
По (1.9.1), (1.9.12) имеем здесь
э0 =p(vR-/3-"VfrJ,
VR
эо о =|T/3-a(/3aCIt + 2aVrTVrT + r"lRV,Rm),
VRVR
И по определению (1) выпуклости требуется рассмотреть нера-.венство
о
• VRT
dxf
R + tiVR-Q
= Р/;
Ti=О
VRTCE
7 о о VRVR
•Q1
[/"Qг• VRT¦ • VR Q + 2aQT- EE- QT +
+ QT-RmRfQT R(Rm] =
= p/3-" [IVi (F -Q • QT) + 2aIf (Q) + I1 (Q2)] > 0.
Задача сведена к определению знака квадратичной формы девяти переменных
8 (Q) = /,"/1 (F • Q • QT) + 2aIt (Q) + /х (Q2),
представимой в собственном базисе меры Фингера суммой квадратичных форм
8 (Q)= 81 (^и> Цгч.1 Рзз) 8zipРзз) 8з (р31, q13) +<?4 (^i2> q^i)-
При обозначениях A,j ^(и?+1и"и")2, к2 = (vfvfnvf)2, A3 = (i?n"t>"+1)2
матрицы коэффициентов этих форм записываются в виде
и т. д. Матрица формы <§ (Q) оказывается диагональной матрицей матриц
' ' 8и II о о о
0 II82 2II 0 о
0 0 || (§зз || 0
0 0 0 II $ц\
Если ограничиться значением а = А/2р^0, что составляет 0^v^0,5, то
||811| будет положительной ("сильвестровой") матрицей, матрицы ||
1|, Ц^з ||, 1841 положительны при условиях
КК > 0, ^3^ > 0, Хф2 > 0, приводимых к неравенству
(19)
М + 2а-И 2а 2а 1 I 1
2а А2 -j- 2а-j- 1 2а > 1 8 2 || ^2 * 1 1
2а 2а Аз + 2а-р 1 1 A31
-са+1)
= min (vu v2, v3),
тогда как условие сильной эллиптичности не налагает никаких ограничений
на собственные числа меры Фингера F.
А. и. Лурье
386
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. s
§ 23. Условие Адамара и устойчивость
Ограничиваемся, как и ранее, рассмотрением аффинных преобразований
натуральной отсчетной и-конфигурации в актуальную равновесную ^-
конфигурацию. Эта конфигурация, напомним, устойчива, если
потенциальная энергия в ней имеет мини-
мум-ее вторая вариация положительна для всех w#0 при w = 0 на части
границы 02, на которой задаются перемещения. По (2.5) и (10.5) этому
условию придается вид о о
VwT--s0 о ••VwTcfo>0 (1)
v VRVR
для всех w, удовлетворяющих перечисленным требованиям.
Доказывается, что следствием устойчивости является выполнение неравенства
Адамара (22.12)
Ьа--э0 0 -Ьа>0 (2)
VRVR
для всех векторов а, Ь. Иначе говоря, если это условие не выполняется, то
^-конфигурация неустойчива. Приступая к исследованию устойчивости
некоторой равновесной конфигурации, следует убедиться, что в
рассматриваемой области удлинений и,, v2, v3 выполнено условие Адамара.
Введя в рассмотрение скаляр ср (д1, д3, д3), примем
о /°\ (0 V 0
w==cpb, Vw^VcpJb, VVwJ -bV<p, (3)
причем наложенные на выбор w ограничения будут выполнены, если ф^О и ф =
0 на всей границе О - это обеспечивает условие на 02; на остающейся части
границы Ох вектор w-любой, в частности, также может быть принят равным
нулю. Неравенству (1) придается вид
г г г 00
J)) V^p-S-Vqdv > 0, S = A'frtsbrbsrclrt = s9tr"rt. (4)
V
В другой записи выражений (4) и (2) имеем
s'v>>0 |5)
v
и необходимо убедиться, что выполнение первого (интегрального)
неравенства требует неотрицательности матрицы ||s^||. Это "неочевидно",
так как положительность интеграла не обеспечивает того, что таковой будет
и подынтегральная функция. Требуется так выбрать удовлетворяющую
наложенным на нее уело-
[рз
УСЛОВИЕ АДАМАРА И УСТОЙЧИВОСТЬ
387
виЯМ функцию ср^1, q~, q3), чтобы подтвердить это предположение.
Постоянный (не зависящий от координат q1, q2, q3) тензор S = ST может
быть приведен к главным осям
S Ajijij A2i2i2 -f- Agigig.
(6)
Здесь Aft-главные значения тензора, его главные направления, одни и те же
во всех точках тела. Их можно принять
за оси декартовой системы х1, х2, х3
Уф • s • v* = *< 0 $ ? Vf ¦ V. • \
4 4 k=\ k=l
Неравенства (5) приобретают вид
ЖУ- т
3 3
? ИК-^)2dxldx2dx3 > °, ("*¦=>*•") (8)
к= 1
к = 1
и остается убедиться, что первое требует неотрицательности Kk.
Примем точку х\, xl, xl за вершину параллелепипеда Кн с ребрами hlt h2,
h3, целиком расположенного внутри тела. Координаты точек в нем
удовлетворяют неравенствам
xk < х\ + hk\ (9)
положим
О вне Kh,
Ф (хх, х2, х3) = ¦
f
х1 -xl
J , - Xp \ j ( х3 - *0
внутри Kh.
(10)
Здесь функция f (t) определена при O^^^l и вместе со своими производными
до достаточно высокого порядка обращается в нуль при t - 0 и t - 1.
