Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
приводится к виду
причем S0-площадь поперечного сечения в натуральной конфигурации (S~
S0vf- S0u-1).
Пришли при и"1 к той же "инженерной" формуле вида (16.7).
§ 22. Выпуклость по градиенту. Условие Адамара
VR в некоторой области ее изменения, если для любого тензора Q выполнено
неравенство
(1)
и постоянной Битти (19.7) придается вид
-4п-2|с^|=2^-[(Д+1)и2-(Д-1)п-Ч +
(3)
и по (1) и (7.4.9)
(4)
Дифференцируемая функция
"выпукла по градиенту"
о
§221 ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА 381
Аргумент
VRx = vR.(E + tiQ)
в этом неравенстве можно заменить, согласно принципу материальной
индифферентности (гл. 3, § 2), аргументом
VRX О - VR (Е + tjQ) - О,
где О-ортогональный тензор. Для изотропного материала до-
0 о
пустима также замена VRX на OVRx.
В частности, ортогональный гензор О можно принять равным ехр(-r]Q), где й
- кососимметричный тензор. Это позволит придать неравенству (1) вид
JL
drf
HVR-(E + r)Q)-exp (-tjQ)
Tl=0'
>0.
(2)
Тензор Q далее представляется его разбиением на симметричное и
кососимметричное слагаемые
Q = S + Q, S = |(Q + QT), Q = ±(Q_<r),
а выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
з (vR -(Е + r|Q)) - a (vR- (Е + r|S + r)Q)- exp (-т)й)) =
- т]2й2 ..
з ( VR • (E + tjS + r)Q) • E- r|Q
= 3 VR
VR
E + t!S-^ii2(^ + 2S-Q)+.. . jj=^VRj +
riS-^ti2(Q2 + 2S-Q)
о
•VRr
-2-r]2S-VRr- -э0 0 • S VR1
2
1 2 ~~2 $ 0 VR
э ^ VR • (E -f- r)S)
vr Vr
¦ (Q2 -2Q • S) ¦ VRT -
У
зу VR • (E + T)S)/ -
-yil2 у уT- -(Й2-2S-Q).
Здесь была выделена совокупность слагаемых э ^VR - (Е r|S)у =з (vr) +
г)30 • -S-VRT +
VR
+ |t12S-VRt--30 о • • S - VRT + . . ., VRVR
5
382
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ.
проведена замена
э0 • -^2-2S-Q).VRT = VRr-P- .(Q*-2Q-S) =
VR
и не выписаны слагаемые степени т]2 и выше. Приходим к соотношению
j/|t ..(Я*
-2Q-S)
Л
dif
т э (VR^E + ^Q))
11 = 0
л
dr\2
г 0
^VR-(E + t)S)
/
g
г] -О
Т• (Й2 -2Q-S), (3)
позволяющему выделить в определении выпуклой по градиенту функции часть,
соответствующую симметричной составляющей S тензора Q.
В частном случае симметричного тензора Q, когда Й---0, свойство
выпуклости по градиенту оказывается равнозначным критерию монотонности
Колемана-Нолла (5.9.4).
При S == 0, Q = Q критерий выпуклости (1) приводит согласно (3) и
(1.11.4) к неравенству
Т -Й2 = Л(Т- Й2) = ю-Т-ю-/ДТ) oo-to <0. (4)
Приняв, что to - единичный вектор ej одного из главных направлений
тензора напряжений, имеем
Oi - (Oj +о2 + о3Х0, o2-fo3>0
- пришли к уже известным неравенствам из гл. 5, § 9.
Проводимое далее преобразование имеет целью исключить из представления
(3) кососимметричный тензор й. Имеем
Т Q QT = Т - ¦ (S-j- й) • (S- й) = Т- • S2 -T -S fl + T- fl S -
-Т• й2 = Т -S2-Т- -(Й2 -2&-S). Возвратившись к (3), получаем
¦ о
^HVR^E + riQ)
п = 0
|/|(Т- Q*QT-Т- S2)
д-
+
Л
dvf
VR- (Е + t]S)
т) = 0
(5)
Это равенство позволяет дать еще одно представление удельного значения
второй вариации удельной потенциальной энергии Ф. Действительно, приняв
Q - Vw, S = е
и вспоминая (2.8), имеем
^HVR.(E
2Ф
r)Vw)
У-(т- -Vw- VwT -Т• • 8:
Vwr VR1
Л
dr\2
VwT- VR
э \ VR • (E + йе)
о о ' VR VR
0
1 = 0
(6)
>22]
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
383
Выражению удвоенной второй вариации, удельной потенциальной энергии
теперь придается вид
2r2=J J $Ф^=5 J Jt-.Vw-VwМУ -J $$T.-eW +
причем согласно критерию монотонности
S S S -^s(vR-(E-f rie))<fo>0.
tj = О
(7)
(8)
Определение выпуклости по градиенту при замене в нем Q диадой векторов ab
принимает вид неравенства Адамара (J. На-damard, 1903)
А (а, Ь):
d2 dr\2
( 0
уз (чVR• (Е + цаЬ)
т)=0
0.
(9)
В другой записи, имея в виду представление
э ( VR - (Е + цаЬ)) = э ( VR у -f гр0 • -ba. VRT +
VR
1 с 0 + Y ifba-VRT.-э0 о .baVRr, vr vr
этому неравенству придается вид
о о
ba-VRT- -э0 0 • baVR1
VRVR
0.
(10)
По (4.11.5) оно оказывается связанным с определением эллиптичности
системы уравнений равновесия и сильной эллиптичности ее, когда
неравенство (9) строго выполняется.
В компонентном представлении
д'1э
7 о о VRVR
ПП'У* "о---------о--
^V sX/^V pXq
А**р*
(11)
и неравенство Адамара записывается в виде
Л (а, Ь) =AstPqasb\apbl Дг 0 (а^ = а^^, й?=Ь-гг). (12)
По (4.9.12)
PVH-r,PrR'+ ]/ |-Vr-.T/,..(Cn + CI1I).-VRT-Cn,
(13)
0 о = *о : ?RVr vr
384 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ.
причем, повторив .вычисление в гл. 4, § 10, можно убедиться, что
слагаемые PVrT, rJPTR's в этом выражении взаимно уничтожаются. Получаем
Л (a, b) = У у ba-VRT - • VrT-TF • • (Сп + СШ) • • VRT-Cn - • ba-VRT=--=
]/ уba--TF•• (C" + СШ)- • VRT - • VR-ab =
= У |b-[a-(TF+TF--CII)-F-a]-b= У |b-Q-b. (I4i
Здесь no (4.11.13) в рассмотрение введен акустический тензор Q = a - (TF
+ TF- -Сц)¦ F - а, (15)
и критерием эллиптичности материала оказывается выполнение неравенства
Адамара (10) или (12), а сильной эллиптичности - усиленного неравенства
Л (а, Ь)>0. - (16)
В сильно эллиптическом материале все собственные значения акустического
