Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
причем г|_1о (г)) (гп^о -^ 0; отсюда и следует, что коэффициент при г)
равен нулю при любом v -в противном случае согласно (9) при надлежащем
выборе р пришли бы к противоречию с неравенством (8).
Этим подтверждается, что значение р = р0 параметра нагружения является
бифуркационным (критическим) - однородная краевая задача (7) имеет
нетривиальное решение w0; им определяется нейтральное, по принятому
определению неустойчивое, равновесие of Ра тела в ^-конфигурации.
Замечание. ^Принятое определение (5) упрощает, но и обедняет понятие
устойчивости. Можно привести следующую аналогиюДпользуясь им, можно
сказать, что равновесие тяжелого шарика в вершине (0, 0) параболы у = ах2
устойчиво при я>0 и неустойчиво, если а < 0. Но его применение не дает
сведений о реальной устойчивости или неустойчивости в вершине параболы у
- ах1.
*) В уравнениях (1.17) принято к = 0, {^=0. 1
WP2° (W) > 0
для всех допустимых w, но для некоторого w0 ф 0
rf"(w0) = 0.
(8)
(9)
W = W0 + T)V,
имеем по (4)
(10)
352
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
§ 11. Нейтральное равновесие полулинейного материала
Уравнение состояния полулинейного материала представляется через тензор
Пиола в форме (5.5.5)
Р= (JiSj - 2ц) 0х -f-2p.VR. (1)
Обратившись к формулам (1.10.7), (1.11.5) и (1.11.11), получаем выражение
его конвективной производной
Р = ?iSlOx + (Яд,-2ц) 0х + 2pVR ¦ Vw = [(tei - 2ц) 0х + 2pVR] • Vw4-
3 3
+ M>xv.-Vw-2(bs1 -2p)VrT-^Z ^rf-efcese,-E-e" (2)
s = 1 fc = 1 4' 1 k
причем первое слагаемое можно записать ив видеР-Vw.
Далее мы ограничимся случаем линейного преобразования отсчетной
неискаженной конфигурации в актуальную, сохраняющего главные направления
xs = vsas, R^^i/yz*, VR - VRTV, ^
VrT = V-1, e, = e"=iit 0х - E.
При этом преобразовании тензор Пиола симметричен, триэдр ii5 определяет
его главные направления
Р = 2 = (^si - 2р) Е + 2цУ, ps = lsx - 2ц + 2цу* (4)
S = 1
и имеют место соотношения
(5)
vs+v/t 2 vs~\-vk r
Теперь, использовав также преобразования оо о
VRVw = Vw, Vw -V-1-Vw,
о о
2eA-8-e^iA-Vw-i^ + irVwT-iJ-y*1Vw- -i^ + y^Vw*-
о
VrT • ek - vix\k, V • • Vw = Vw,
можно переписать (2) в виде
ООО
Р = (Xst - 2ц) V-1 • Vw -j- 2pVw -f- AEV• w -
§11] НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛА 353
Заметив еще, что
3 3
V-1-Vw = V У Vw- -i ib=- Vw - -Li
St1 j?, v* da* ' sh dak ' VW das
и обратившись к (5), получаем
0 0 р = 2fiVw -f- XEV • w -f-
X X (^i -2и)
s= 1 Ы
О О
I ^ \ <ь5 1 dwk
Ы
/г1^ -
V vk j dak vs-\- vk da* _
- 2Pv.+"ev ¦ . +1X
3 3
= 2pVw -f ШV-w-f|
U U 1
ЯЕ V • w -f 2pe (w) + -r
P\ +Pi fdw2 дщ\%и_ш +
.?*¦
v.
и1 + у2 {да1 да2
2-4~Рз fdw3 dw2\ ^ , Рз + Pi fdwj дмЛ . '
'2 -у3 \да* да3 ) ¦ 2 3 з г] "Г VsA-vl \дал да1 / ' 3 1 1
Введя в рассмотрение теперь диагональный тензор А с компонентами
Д ±p*±?s А lEi+li, a ^±Pi±?z (6)
1 (i t'2+Рз 2 Р P3+Pl 3 И "1+^2
и вектор вихря вектора w
о , о (r)=|V
0 1 /дач е?Е?;з А 0
С>w3 дш2\
да* да3 / >
1 ( 'dw2 dw-i
2 1 ч да1 да2
(r)2 2 (,<№ aaV' 053 2 (dJ 5a2J ' ^
можно придать представлению Р вид
о о
Р = A,EV ¦ w -j- 2ре (w) -)-
ГО О 0-1
"Ь Р lA^ (U, *зЧ) ~Ь А2&)2 (131! ЧЧ) -f- ^з(r)з (ЧЧ ЧЧ) J ((r))
или же в независящем от координатной системы (инвариантном)
виде
Р = MEV• w + 2ps (w) - [хЕ х А • w. (9)
А. И. Лурье
354
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. ч
Квадратичная форма Ф по (2.8) теперь представляется выражением
, . О , /О \2 /0 \ /О О О \
Ф = у Р • ¦ VwT = у I (. V • w) + p/j (Е2) + |А {/4jO)i + Л2(ю1+Л3C0S J -
=
1 /О Д2 /0 ч 00
= у A^V-wJ -fpJi 1е2У+МЛ--(ого. (Ю)
Уравнения нейтрального равновесия в объеме и на поверхности записываются
в виде *
О 0 0 О О О N
V-P = (A + p) VV-w + pV2w-pVx(A-toJ - 0, (111
00 о
AnV- w + 2рп¦ е (w) - рпх А-о) 0. (12)
Уравнения (11) в форме
ит'д' (13'
были из других соображений получены Саусвеллом (Southwell R. V., 1913).
Их обобщение на неоднородное напряженное состояние в ^-конфигурации
предложено в работах Бицено и Генки (С. В. Biezeno, И. Hencky 1928-1929)
и воспроизведено в книге Бицено К. Б., Граммеля Р. Техническая динамика,
т. I.-М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
Заметим, что выражения (8) и (9) тензора Р отличаются от представления
тензора напряжений Т линейной теории упругости только наличием слагаемых,
определяемых ротором вектора w. Слагаемыми подобного же происхождения
отличается квадратичная форма Ф от удельной потенциальной энергии
деформации линейно упругого тела; точно так же уравнения
нейтрального равновесия (11), (12) переходят в однородные урав-
о
нения равновесия линейной теории при Vxw -----0.
Отсюда согласно теореме Кирхгоффа о единственности решений уравнений
равновесия линейной теории упругости можно заключить, что равновесное
состояние в ^-конфигурации устойчиво по отношению к безвихревым
виртуальным перемещениям; о
лишь при условии Vxw =у= 0 возможно существование нетривиальных решений
уравнений нейтрального равновесия (для значений коэффициентов Ляме
линейной теории).
После замены
оо о у о У 0 VV • w.- VxyVxwJ - V2w
