Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
в=ТсГз"з(-hy+i2x)-4v (щ+а2и2^ [(i3ix + iii3) в31 + (i2i3 + i3i2)e23] и по
(5.6)
е = {i3 (-ii*/ + i2*)+j^2 (isii + i,i,) [рх~у) +
+ (*2*3+ *8*2) (^ + Л:) | • 00
Уравнения равновесия в объеме и на боковой поверхности стержня
V.0 = O, N • 0 = (TV.ij + У212)-0 = 0
344
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
I Г Л .8
сводятся к известным уравнениям линейной теории кручения Сен-Венана
У2Ф^0,
(8)
Вектор напряжения в поперечном сечении определяется выражением
t = i, 0
= { ( ЬУ + М) + [i2 [% + х) + i, [д?-У) J }
и нетрудно проверить, что главный вектор этих сил равен нулю.
Действительно, например, по (8)
бф \ д (д ф дх y)+djjx{dy~rX
dO
= $x(%~yNi+xN2)dl=V
J
Г
и по (4), (9), как требуется,
SSfrfO=0.
о
Главный момент напряжений равен 55 (М + \гу + i3z)xfdO -
(10)
W3
х2 + у2-
X [д-^ + х \ду
'Зф
dO+
дх ~У
+ i32X
Второе слагаемое по (10) отпадает, а сославшись на (3) и (6.13.9),
получаем
mz--= (у=^зС° + /^ . (11)
Крутящий момент может оказаться равным нулю при а> 1, когда в ^-
конфигурации согласно (5.6) стержень сжат. Тогда по (11)
_1 __ 1 _С!
гО *
/
(12)
Известно, что причем равенство имеет место только
для круглого поперечного сечения и концентрического кольца. Поэтому
неравенство
1 , С0
§7] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНО НАПРЯЖЕННОЙ СРЕДЕ 345
позволяет определять геометрические характеристики стержня с поперечным
сечением отличным от круга (или кольца), когда при надлежащем задании
напряжения сжатия |о3| одноосное напряженное состояние нейтрально - не
исключается деформация скручивания при отсутствии крутящего момента на
торце стержня.
Критическое (бифуркационное) значение сжимающей силы определяется по
(5.6) и (3)
Q-|cr3|aVS0 = 2S0t'(a2-1) ^ - , (14)
причем v я а определяются по (12) и (5.4). Последнее условие отпадает,
если материал несжимаем, и заменяется условием
У /3 - a2v3 - 1, vs = а~2 = 1 - -0
/ П
и критическая сжимающая сила представляется выражением
Q
2S"C° >-С"
р
1-
С"
'п
) дэ
дГУ
дэ
(15)
В несжимаемой среде
h = у2 + 2у-1,
ёэ (и)
- V
' + 2t>, э(1и /а) = э(и),
f дэ , дэ
f дэ , дэ \ = 2(1 -v->)(WiV + Wt)
dv
и это позволяет представить Q формулой
ёэ
Q -
(16)
Вектор перемещения из СУЭ- в ^^-конфигурацию в рассмотренной задаче был
наперед задан формулами (1). Поэтому нельзя отвергать существования
других нейтральных равновесий (изгиб-ных форм, например) при меньшем, чем
определяемое формулой (14), значении сжимающей силы.
§ 7. Плоские волны в однородно напряженной упругой среде
Плоская волна в направлении, задаваемом вектором N, определяется вектором
перемещения
w (t) w0 (/) exp ikN ¦ R, w0(t) = w0e!(i>t. (1)
Здесь k - волновое число, со -частота, c = a!k - скорость распространения
волны. Уравнение движения частиц первоначально напряженной неограниченной
упругой среды записывается в форме (1.17), причем отсутствовавшая в ^-
конфигурации мае-
346 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
совая сила в (^эх-конфигурации трактуется, как "сила инерции" (этой
терминологии, конечно, можно и избежать)
p'k ¦= - pw (/) = - pw0 (t) ехр t&N ¦ R = pco2 w (t). (2)
Уравнение движения приобретает вид
V - 0 + pco2w (t) - 0. (3)
В представлении (5.2) тензора (c) градиент w заменяется его
выражением
Vw .= R*w0 (t) ехр ikN ¦ R ik N • R - г/eR'w (t) N • Rs ikNw (t)
(4)
- набла-оператор заменен вектором ik N. Поэтому
1 г,л, _ J_ •
2
/j (F^ - в) - ikN -FN -v/
и т. д. Получаем
e - ^ ik (Nw + wN), -8= -5- ik [F^- Nw + Fw • wN],
+2/1
- ф0 (Nw + wN) +ф2Р -(Nw + wN)- F +
' 1
+ 2^5] WFrN-FA'-N \ (5)
Г=о N = 0 . )
и далее
V-0 ^ - k* Jn-T-NE +2 ]/ -| ^-ф0 (E + NN) + ф2 (N ¦ F • NF +
I
+ N-FF-N)+2 2 S TATN-F'vFr.N
N~oГ=о
Заменив здесь T его выражением (4.3.4), придем к представлению
V-0 = -4k2 Y§ -§-0l>iN-F-N4-i|>aN-F2-N)E +
+ -ja|>2(N-F-NF + N-FF-N) + (a00-i-a|>0) NN +buN ¦ FF • N + -f "%2N •
F2F2¦ N + {}01 (NF • N + F • NN) + fl02 (N • F2N + NF2- N) +
+ 0]2(N-FF2-N + N-F2F-N)]-w (6)
в виде произведения
V - 0 = -4&2 ]/ J-Q-w (7)
справа на w тензора, отличающегося только множителем от
акустического тензора (4.11.16). Уравнение движения (3) приво-
§8]
ВОЛНЫ В ГИДРОСТАТИЧЕСКИ НАПРЯЖЕННОЙ среде
34?
дится теперь к виду
p(r)eE)-w = °. (q-tp^e)-w = o (8)
характеристического уравненения акустического тензора, причем 74р0с2 -
его собственные числа.
Как будет показано в §11, они положительны, значит и скорости N по любому
направлению вещественны для деформированных состояний в ^-конфигурации,
пока материал остается сильно эллиптическим.
§ 8. Плоские волны в гидростатически напряженной упругой среде
Проще всего, не прибегая к общему представлению (7.6), преобразовать по
(7.4) выражение (4.17)
V-0 = (Х + р) VV-w -f pV2w =- - k [(X-f р) NN -f-pE]- w. (1) Уравнение
(7.3) приводится к виду
[(Я + р) NN + pE-pc2E]-w = 0, E = NN + t1t1 + t2t2, (2)
причем tlt t2, N - ортонормированный триэдр, векторы t,, t2 расположены в
плоскости, перпендикулярной N. Уравнение (2) переписывается в виде
[(Я-)-2р - рс2) NN + (p -рс2) (t1t1 + t2t2)]-w = 0.
