Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 564

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 558 559 560 561 562 563 < 564 > 565 566 567 568 569 570 .. 742 >> Следующая

SWt = - 555 (V-0 + pk)-6wc/E+ 555 V-(B-6w)dK -
г vJ
- 55 fx-fiwdO = - JJJ(V-e + pk)-6wdV-f
(Д 1/
-f 5 5 (N • 0 - fx)*Sw dO +5 S N • B - 6w dO. (2)
Ol 02
На части поверхности 02 в ^-конфигурации задавалось перемещение w и на 02
по (1.4) в ^эх-конфигурации 8w--=0. По
(1.17) приходим к принципу стационарности потенциальной энергии W 2 в
'Реконфигурации
61К2 = 0. (3)
Конечно, верно обратное -в (2) заключены уравнения (1.17) в К и на 0г и
требование равенства w его значению (1.4) на 02.
Однородная краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений
(1.17) может иметь нетривиальные (отличные от нуля) решения для w при
некоторых значениях параметров нагружения в ^-конфигурации, входящих в
представление В. Равновесие в ^-конфигурации в этом случае называется
нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными).
Сказанное здесь связывается с задачей устойчивости равновесия;
разъяснению ее содержания уделено место в §§ 10-25 этой главы.
о
В системах уравнений (2.10), линейных относительно Vw,
Vw, квадратичные формы Ф и ? представляют производящие
о
функции преобразований Vw-> Р, Vw-->B.
о
Обратные преобразования Р->Vw, В - >Vw осуществляются квадратичными
формами от Р и В
Фх (Р) = Р- -VwT(P) -Ф (v (w(P)) , (4)
?Х(В) =В--VwT (B)-?(Vw(B)).
о
В них Vw(P), Vw (В) - решения систем линейных уравнений (2.10). По
свойству преобразования Лежандра они представимы в виде
Vw(P) = (Фх)р , Vw(B)-(^x)0. (5)
s j) ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 33?
Следствием этих соотношений является принцип стационарности
дополнительной работы -равенство нулю вариации функционала
W%x = $$S'Fx(e)dV-$Sw-fxdO (6)
V 02
для всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравнениям
(1.17) в объеме и на части поверхности О., на которой заданы силы.
Для этих состояний
в V: V-60 - 0; на О.z\ N-60-=6fx; на 0,: 6fx = N-60=O. (7)
Действительно, по (4) и (2.10) бЦДх 5§'^wT((r))~f (r) ¦ ' ^VwT-0- ¦ b\wT)dV-5
5 w- 6fxd0=-
I' о2
= 555 [V • (60- w) - (V- 60) • w]dF- J J w- 6fxdO ==
V 02
= - 5S5 (v-6(c))-wdF+55(N-60-6fx).wdO +S5N-60.wdO=O,
У 02 0,
как следует из определений (7) статически возможных состояний.
§ 4. Малая деформация гидростатического напряженного состояния
Напряженное состояние в ^-конфигурации создается равномерно
распределенным по всей поверхности тела давлением р, так что
к = 0, f = -pN. (1)
Уравнениям статики в объеме и на поверхности в этой
конфи-
гурации
V-T = 0, N • Т = -рЫ
удовлетворяет шаровой тензор напряжений
Т = -рЕ. (2)
Мера деформации Фингера F -также шаровой тензор с ин-
вариантами
F = ц2Е, Д (F) = За2, /2(F) = 3M, /, (F) =и" и уравнение состояния
(4.3.13) приводится к виду
- р -= 2v~3 (ф0 + гДц2 + ф21Д = 2ц-1 (-щ 4- 2d2 щ +
3
2ц-1 -гг + У2 ггг + V1 (-Д- 4- дг ) (3)
*L + V*ll + V*(^ + V^
д I j д! 2 <?/з
338
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гл. а
или в другой записи
дэ
Р(у) - 2d1 ( -+ ^ -
дэ
, о / дэ , " дэ
~ [dll " Oh
1-
(4)
Здесь р(1)--р- модуль сдвига в отсчетной неискаженной конфигурации. По
S^-критерию в форме (5.13.11) р (и) > 0 для сильно эллиптического
материала.
Потенциальная энергия в ^-конфигурации представляется по (4.16.14)
выражением
W (R)
i+p V^)dv
' ё / ,, V v
Ее представлению в ^^-конфигурации по (2.3), (2.7) и (1.12.6) придается
вид
W (R + Tjw) = Г (R) + г]Г, + т)аГ2 = W (R) + т)
+*Ш
Т- -VwME +
V-wdE
¦ т W Ш w+№v ¦w) Vw ¦ ¦ Vw^dV W5)
1 к к J
При составлении по (2.11) выражения 'Ф используются формулы /*(
F.8)=t)"/1(8), / i (F3-e) =о4/1 (е), /1(F*-e") = t;V1(e*)f [-ФоЛ
(8*)+ll3*/l (F2-82)] = -и4 + =
= Ту3 [Р+Е(у)171 И.
§
00
^ , ..12 ^ Д .. ^ I С.,2 525
+ и Ж' d'l^v2 + Jn + 6v а/.э/*-
} о -y6_^?_..L3u8_i!fL
22 a/f' л1~ dhdls' dltfla
¦ 9и4
Ж - - У'
<]Ь dll' д2э dhdTn'
Д _________________ 02Э о 2 д-Э
Получаем
?-= - - p'Vw- -VwT + [p (у)+/?]/, (е2) + 2у |
~2 + 4у45 +
+ ^ + 4у2 а*9
... а/1 ¦
. дгэ . п 4 д2э
FiToft "Г ' ЖГа/з ЖГЖ
а/2 )
ж
a/s
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации, как функцию v2
э (Л, /2, /3) = э (Зу2> Зу4> ув) "= 5 (у2)>
ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
339
имеем
da dv2
_да
dl,
да
Щ
d*a
= 9
01? > 4У44-и8 - + 4п2-^ Ь4у6 -~а-. 4-2и4--~
д/!т д/1+ dll+ а/1д/,+ 11' dl2dl3 + lv di3dlx
+
+"(?+-?)
и это позволяет заменить (6) выражением
Tp\w- • VwT-j-[p (у) + р] 1, (е2) +
d2a
9 \ (dv2) yvi2
Учитывая также соотношения
0 I да . "да \
дГ2^~ дГ3)\
/1(8).
(8)
-jpVw- -VwT + ^-p (V-w)2-j pVw- - Vw = jpl! (e)-
- - Vw- • (Vw+Vwr) = y pl\ (e) - pVw ¦ - e= ~ р1\[г) - pi, (ea),
можно придать теперь выражению второй вариации потенциальной энергии вид
4 = v(v)h (в2) + т
V
4 й2э ,4 ( да , " ба
1 -1-4.
О)
Р + 9 У (di'2)2 + 3 U (,(3/2 + и2(3/з
Величина Ф приобретает значение удельной потенциальной энергии в 9°х-
конфигурации (относимой к единице объема ^-конфигурации). Сравнение с
известным выражением удельной потенциальной энергии деформации линейного
упругого тела
^Щ(г)+р1х (Е2)
делает естественным теперь ввести в рассмотрение "приведенный коэффициент
Предыдущая << 1 .. 558 559 560 561 562 563 < 564 > 565 566 567 568 569 570 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed