Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 563

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 557 558 559 560 561 562 < 563 > 564 565 566 567 568 569 .. 742 >> Следующая

(4.16.8)
WW = SSS3dy~SSS Pok-R^-SSf°-Rdo- (2)
V V Ot
В ^х-конфигурации этому выражению придается вид
IT(R + T1w) = ir(R) + T1iri(R) + T1ar2(R)- (3)
332 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА 1ГЛ. 8
Здесь по (1)
^ 5 5 Р- ¦ VwTdv - 55$ Рок-w dv - 55 f°- wdo, (4)
V V 0X
= y 555 VwT- -э° о • -VwTdv = Y 5 5 5 ^wT' 'Po ••Vw Tdu =
v VRVR • " VR
r,,e
V V
= HWe'VwV|/- (5)
У
Очевидно, что Wt представляет вариацию потенциальной энергии системы (2),
равную согласно принципу стационарности (§ 16) нулю, если ^-конфигурация
равновесна
= 0. (6) В другой записи формулам (5) придается вид
^=$5$ф(^ )dv, ^, = 5SS^(Vw)dK. (7)
о
Здесь Ф -квадратичная форма переменных Vw, ? -переменных Vw
ф = 1р.-VwT = 4-VwT--э0 о • • VwT, 4f = -i0--VwT, (8)
VRVR
Р и 0 линейно зависят от этих переменных. Поэтому
Р Vw Д 6Vw у = Р у Vw 7 Д Р i,6Vw) ,
0 (Vw Д SVw) = 0 (Vw) Д 0 (6Vw).
о
Операции 6V, 6V "переставимы при варьировании в (^эх-конфи-гурации.
Получаем
8Ф = -^-б(р- -VwT) =-^- [р (vw) • -V6wT + P (v8w) • -VwT] ,
2 4 y 2 = у 6(0- • VwT) = y [0 (Vw) - • V8wT Д- 0 (V6w)- • VwT],
По свойству взаимности (1.15), (1.16), приняв wt=w, w2 = 6w, получаем
отсюда
6Ф = Р--6^Т, 6Д = 0 (Vw) • • 6Vw. (9)
j2] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В ^^КОНФИГУРАЦИИ 333
Остается вспомнить определение производной скаляра по тензорному
аргументу (II.2.7). Приходим к соотношениям
Р-Фо ¦ (r) = (Ю)
Vw
представляющим аналог уравнений состояния изотропного упругого материала
в задаче о наложении малой деформации на конечную деформацию нелинейно
упругого изотропного тела. Впрочем, формулы (10) следуют и из известных
свойств квадратичных форм -теоремы Эйлера о производной однородной
функции.
Явное выражение квадратичной формы Ч1' (Vw) сразу же следует из
представления (4.5.8) тензора 0. Учитывая равенство нулю первого
инварианта произведения симметричного тензора на кососимметричный, имеем
соотношения
8 • • VwT = 8 • • (е fiT) = 8 ' ¦г=11 (е2),
F-e-F- -Vwt = F-e-F--е = /3 (F-e-F-e) = /1 ((F-e)2)
и т. д.; получаем
? = ^ 0. .vwт = | Т- -Vw-Vw* + 2 ]/-§-{-^0/i И +
+ Ч>,Л ((F • е)2) + [&в0Ц (е) + ЪпЦ (F • в) + bjl (F2 • 8)+
+2Ъ01 1, (8)/, (F-8)+ 2§02/1 (8) I, (F2-8) + 2I}12/1 (F-e) /j (F2-e)]}.(1
1)
Величину W2 можно назвать потенциальной энергией в ^^-конфигурации при
"мертвых" в ^-конфигурации силах. Напомним, что 8 в (11) -линейный тензор
деформации над вектором w в Rj-базисе
8 = -?;- (Vw + VwT). (12)
В представление Ц72 может быть включено слагаемое
- pkwdH - fx-wdO, (13)
V о,
где k, fx - массовая и поверхностная силы, отсутствовавшие в ^-
конфигурации.
В векторном базисе главных направлений es тензоров F и Т инварианты ^(F^-
e) представляются через диагональные компоненты ss тензора е в этом
базисе
1г(F^-e) = 'Bmkemeh = 2 vf&s (e" = ej.
stnk s= 1
334
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Квадратичной форме в квадратных скобках (11) придается вид
2 3'
S2Wi(F^e)/,(Fr.8)= 2 2 ^гЛГУ* =
NT N, Г=0 s, к=\
3 3
~ 2 2 askesBk-s= 1 fe= 1
Имеем
12 2 Ij
a
sk'
~-aks- 2 2 ^A/rusJVl,ftr - +
jV = 0 r=o
[ + ^01 (ys+yl) + ^02 K + ^l) + ^12 (vsvk~\'vsvk)- (14)
Вспомнив определение~величин
a/3i3 + a/l 3' ¦ 11 1a/i3/.+ 1Э/Г
ft = -
22 л,2 "
01 2
a - / , i г _^L_ a - - / га2э
V01 'i3f Д/ I" 1 3 A T ' . 02 *8
••dhd/,^ 11Isdi2di3' u"2 "За/2а/3
q <Рэ r а2э
получаем
+
Vs Vk
dhdl
3UJ1 \ V.
д2э (4+4-)+~&4'4}- (is)
V Vs Vk J dl3 vs Vk I
Продолжая преобразование, введем в рассмотрение производные э по
переменным и|
дэ дэ , п дэ . 1а дэ
Они явно зависят от инвариантов и от v\ для t^s. Поэтому д дэ д2э д2э 0 .
j 2\ д2э ,, 2. д2э ,
dvI до! ~ (dvl)2 ~~dlf + ( 1 ^ dhdl 2 + (7l _ У$) ^7F +
J.O// _и* A J2.J-9 А_Ё?_ I (hV^L Z (IJ Djj I JI 31 Т' 2 31 3J "Г ( 2 ) э
2 >
Ds 0/20/3 ys 013°'1 \ 0S / д/3
так что
се)
ПРИНЦИПЫ СТАЦИОНАРНОСТИ В ^эх-КОНФИГУРАЦИИ
335
При вычислении смешанных вторых производных следует учесть, что
Л (/.-<#=1,
dvk
д /я
/"
и поэтому
ask = vlvl- -J-*
UVfaUVi
з 2 2 2 2
dvk vs vs vk
дгэ
{$Ф k).
(17)
Квадратичная форма (11) может быть теперь представлена в виде
'¦ж'.И + зя/ЩР'е)*)
+
J'
причем ask определяются по формулам (14), (15) или (16), (17). Еще одно
их представление - следствие соотношения
Л
Из него получаем
ask = vp\-2
д2э
дэ Jull дэ _1_ /з дэ
W + (I'-v*>dr + -?dTa.
У /3 /"2
dvsdvk
, да.
a.
2 \Vitfk+2a4>
s dv! 2
+ vt> VD
(19)
(20)
Тождественность представлений (19) легко проверяется. В (20) принято
обозначение
~ / 2 2 2\ 2 , ( дэ . , дэ п г дэ
Н-Лу1> у2, Уз)- '1Гг~2Us57^
А
В натуральной конфигурации р(1, 1, 1) = р по (4.7.12).
(21)
§ 3. Принципы стационарности в ^эх-конфигурации
Представим в соответствии с (2.7), (2.13) вторую вариацию потенциальной
энергии функционалом над w вида
W2 - ^5$ УdV - JSS Pk'w^ 'w^О-
V V о,
(1)
33 f>
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ- 8
Его вариация (варьируется w) по (2.9) определяется выражением
= J 0 • • SVwT dV - 5 S S pk- 6wdV - 5 5 fx • SwdO
V V 0,
и по (III.3.10) преобразуется к виду
Предыдущая << 1 .. 557 558 559 560 561 562 < 563 > 564 565 566 567 568 569 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed