Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Остается вспомнить предложение теории неявных функций, что необходимыми и
достаточными условиями существования функциональной связи % (/у, /2) = 0
Между двумя функциями трех переменных /у (g1, q2, q3) и /2 (pl, р2,
q3) является обращение в нуль их якобианов по каждой паре
переменных
3)(h,h) n SXfuft) n SHfu h) n
S){qL,q2) ' SD{q2,q3) ' 3> (q3, q1)
320
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ.
В других терминах это обозначает, что градиенты этих функций у/ч,
у/2 -
параллельные векторы. Вернувшись к (17), приходим к основному
для после-
дующего построения утверждению: величина уф-уф - функция от Ф. Иначе
говоря, представление дивергенции диады V'eiei в форме (12) возможно лишь
для функций Ф (<у1, q2. q3), удовлетворяющих этому утверждению. По (15)
приходим к соотношению
у-е, =ф (Ф) фч (Ф), уФ-уФ = ф(Ф). (181
Второе соотношение (12) переписывается теперь в виде
V • е2е2 = (V ¦ е2) е2 + е2 • уе2 = <р (Ф) ф2 (Ф) ej.
Но e2-e]=0, е2-уе2-е2 = -^-е2у (е2-е2) = 0 и поэтому
уе2 = 0 (с, ф с3); (19)
это равенство отпадает при с2 = с3. Далее окажется необходимым также
представление свертки vci--Vei- Вычисляется дивергенция вектора eryei, по
(15) равного нулю. По (III.3.9) имеем
V • (er yet) = V ¦ (vel- ej) = (у • уе?) • ег + ye] • • у el = 0.
У el - • ye! = у er • yet = - (у • у el) -e^
Правая часть этого равенства далее представляется с помощью
вышеприведенных соотношений через функцию Ф; использовав (18), а также
(III.6.16), имеем
У • уе! = уу • е, = yiH (Ф) ф (Ф) = [ф! (Ф) ф (Ф)]' уФ, (у ¦ уе!)• et =
(ф^)' ф (Ф).
Этим доказывается соотношение
уех ¦ ¦ yei = - ф (Ф) [фч (Ф) ф (Ф)]' (20)
•-существенно, что эта свертка также функция от Ф.
3. Поверхности Ф = const. Было показано, что вектор нормали п = е, и
поверхностям (r) = const характеризуется свойствами (18), (20) - его
диверген ция у-n и двукратная свертка его градиента уп--уп постоянны на
этих поверхностях.
Требуемые формулы теории поверхностей собраны в (III, § 11). П->
(III.II.И) и (III.11.12)
Уп = рапа = -р\ьЦ>, у." = _6" = _2Я,
уп- • уп = р"рр&Р • • ртр66у = ь\ь^=к, (21)
где Н-средняя, К - гауссова кривизны поверхности. Итак, на поверхности Ф
= const постоянны и средняя и гауссова кривизна. Такими поверхностями
могут быть лишь сферы, круговые цилиндры, плоскости. Перемещаясь вдоль
нормали п, т. е. полагая dn - dR, имеем
dn - dR-yn - dR, у n Е,
иначе говоря, при таком смещении n = ej - постоянный вектор и
поверхностями Ф = const являются концентрические сферы, коаксильные
круговые цилиндры, параллельные плоскости. Уравнения семейств этих
поверхностей, если через R обозначить вектор места па них, при принятых в
§ 9 обозначениях задаются выражениями
I R =Rep, R~=ReR^kZ, n-R = const. (22)
4. Приведенное исследование выясняет структуры мер деформации F Фин-гера
и Альманзи F-1 = g. Собственные числа с* (Ф) тензора F (щГ1-тензоре
§21]
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
321
Альманзи) принимают постоянные значения на перечисленных поверхностях
(21)- Собственное направление представляет единичный вектор нормали к
ним; направление е2 в касательной плоскости при с2 = с3 удовлетворяет
условию (19). Конечно, с1с2с3=1; тензоры F и g положительные.
Для разыскиваемых по этим условиям тензоров F (или g) должны выполняться
условия интегрируемости-обращения в нуль шести компонент тензора Риччи.
Подлежат рассмотрению случаи
а. С! ф с2 ф с3, F = (c! - с3) е3е, [ (с2 - с3) e,e2-f с3Е, сг = (с2с3)-\
(23)
б. с3 - с3^сг, F^(c3 - с3) е,ех '-с3Е, сг = с^2,
/ г? _ / \ 1C -2 ( )
в. Cj-с3тес2, F - (с2-с3) е2е2 с3Е, с2 = с3 •
Последний случай далее не рассматривается; Эриксен доказал, что ему
соответствует или постоянный тензор F (линейное преобразование), или
некоторые тензоры, не удовлетворяющие условиям интегрируемости. Напомним
еще, что случай, когда оба инварианта /, (F), /2 (F) постоянны (Шилд и
Клингбейль), был исключен здесь из рассмотрения.
5. Для трех перечисленных семейств поверхностей векторные базисы Rs,,
R5 актуальной конфигурации и отличные от пуля компоненты единичного
тензора Е в ней определяются формулами: а) Плоскости: Ri = ii=R'S (s=
1,2,3);
Git = G22 = G33 = G11 = G22 G33 = 1, (25a)
причем i5 - единичные векторы осей декартовой системы; i1 = e1.
Р) Цилиндры:
R1=R1 = e" = e], R2= Re(J), R3=R3 = k. R2=i-e(1);
Gu = G11 = 1, G33 = G33 - 1, G22 = R2, G22 R~2, (25p)
у) Сферы:
Ri= R1 = e^-ej, R2 = 7?ee, R3 = Д sin 0eA, R2 = ^-ie0)
R3 = {R sin(c))-1 eA; (25y)
Gu = Gn - 1, G22 = R2, G33 = R2 sin2 0, G22 = "-2, G33 = (R
sin 0)~2.
6. Векторы e2, e3. Обозначив e6, es - ко- и контравариантные
компоненты
единичного вектора е2 (чтобы избежать обозначений вида e2s, е2), имеем е2
= R^'5 = R^., Gskesek = G-sA'e4efc = 1
и поэтому в трех перечисленных случаях можно, учитывая, что e^ej - О,
е1=е1 = 0, принять
а) е2 = е2 =cos ф, е3 = е3 - sin ф;
Р) е2 = Дсо5ф, е3 = е3 = 51пф, а2 = Д_1созф;
у)е2 = Дсозф, е3 = R sin 0 sin ф, е2 = Д_1созф, e3 = (R sin в)-1 s:n ф и
представления векторов е2, е3 = е,Хе2 приводятся к виду
