Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 555

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 549 550 551 552 553 554 < 555 > 556 557 558 559 560 561 .. 742 >> Следующая

§ 16. Универсальные решения уравнений движения
1. Рассматривается уравнение движения несжимаемой упругой среды при
отсутствии массовых сил
- Vp + V-T?=pb. (1)
Ему сопоставляется "квазиуравновешенное движение"; оно определяется
уравнением равновесия в поле давления р (R, t)
-V/? + V-TK = 0. (2)
В параметры определяемого им вектора места R (ограничиваемся
универсальными решениями) t входит, как фиксированный параметр.
Следствием (1) и (2) является соотношение
У(р - р) - pb,
которому можно удовлетворить, предположив наличие потенциала ускорений ?
b = V?, р 1 = р - р. (3)
Здесь ? -однозначная функция координат, существующая согласно теореме
Томсона (1.14.16) в движениях с постоянной во времени циркуляцией вектора
скорости
ft R-dR = const. (4)
г
Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда,
когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный
потенциал ускорений -выполнено условие (4). При этом условии тензор
напряжений определяется уравнением
Т = Р?Е + Т, (5)
причем Т - общее представление тензора напряжений, соответствующего
равновесию в момент t.
306 несжимаемый упругий материал [ГЛ. 7
2. О потенциале ускорений. Равенство (4) - необходимое и достаточное
условие существования потенциала ускорений. Достаточным является
равенство нулю циркуляции скорости, тогда движение безвихревое и
потенциальное
V х v = 0, v-=Vx^Rs - х, V-v-0, V2y = 0.
dq*
Здесь % - потенциал скоростей и по нему вычисляется потенциал ускорений ?
= V^-VvR'|C = v|i-Vv.v-v(f_^.
Была использована формула (1.10.5). Итак, при существовании потенциала
скоростей потенциал ускорений с точностью до аддитивной функции времени
представляется выражением
<6>
3. Примеры, а) Аффинное преобразование. В этом случае
R = c(/) + r-A(tf), detA^O. v = с + г- A (i) = c-f (R - с) А-1-А
и далее, обозначив ш- сопутствующий тензору А-1-А вектор, имеем (1.11.1)
V х v = V х R.A-1-A=R* X R,-(A-1-A)B!"R"R"^
= (R*XR") (А~'-А)гп = -2а>
и достаточным условием существования потенциала ? является симметричность
тензора А'1-А
w = 0: А"1-А = (А-1-А)т, AT = A"1-A.AT. (7)
Например, при деформации простого сдвига это условие не выполнено
A = E + i2i1s, А_1 = Е -i^s,
А-1-А = (Е -i2i1s)-i2i1s= i^s, 2о> = i3s^0. Необходимое и достаточное
условие определяется равенствами b = c + r-A(0 = c + (R -с) А-1-А(0,
Ат = А-1-А-Ат (8)
и потенциал ускорения представляется выражением
? - у R- A-1- A - R -ф (с -с - А-1 • A). R. (9)
§ 16]
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
307
б) Преобразование полого цилиндра в полый цилиндр, сохраняющее осевой
размер. В формулах (11.4)
#2-г2 + Л, Ф-ф, Z -z, R = e*l/r2 + A + kz
и, учитывая, что е^ефФ--= 0, имеем
v " 2R и по (4)
eR=^^Vlni?, х=о-Ain#
ЁХ_1 Л In ^ - 2 ^ 1 ^ ^ 4 Я2
?=т (Л1п^+тж) •
(10)
Вместе с тем
Л RI -П, .1 2RJI, А=2(#0#0 + #2)
и поэтому
R,
R
v RoeR' Х=Т ^0^0 Ini?2, l = ~
(R0R0 + Rl\nR*)+$Rl (1
)
в) Преобразование полого цилиндра в полый, когда осевой размер не
сохраняется. По (11.1) теперь
#2 = Аг2 + ?, Ф = Ф, Z = A~1z\ R = ^en + k4,
v = i?en + kZ==4-
4*+4(в~4в)
е" TZ k,
1
=[44в,+(в-
4)'"в+14г'
потенциал ускорений, определяемый по (4), оказывается равным
1 ( А А2
? =
+
4 V44 2Л2 ]Ri
А 1 А в-в) + (в-^в
1т(в-4-вУ +
8R2 \ А ~~ ~А
ш R + iw-T^^2-
(12)
г) Центрально-симметричное преобразование полой сферы.
По (9.22)
#3 = r3 + A, 0 = 0, А=Я;
R = #ей, v = Re^=-g^Tes,
%'
¦W <13>
и по (4)
А2
1 А
'18R* 3 R
(rr+?&•).
(14)
308
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
§ 17. Дифференциальные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных
решениях
Уравнения (16.2) определяют тензор напряжений через мате-
риальные"координаты и входящие в представление вектора места R параметры
А, В, С и т. д., далее здесь обозначаемые р,06, и их первые и вторые
производные по времени. Дифференциальные уравнения, их определяющие,
диктуются краевыми условиями подобно тому, как получались конечные
соотношения между ними в"§§ 10-15. Но представляется, что проще ведет к
цели прием составления этих! уравнений, использующий принцип Гамильтона -
Остроградского.
Задание вектора места
R = R(<7\ q2, q3\ р") (1)
определяет представления его вариации, вектора скорости и кинетической
энергии
си 3R с ~ 3R
°R = Я-ОЦ , v= г-м"
<2>
Вспомнив также выражение вариации лагранжиана
d дХ дХ др" ~dj?
и следуя (2.24), можно теперь записать выражение принципа Гамильтона в
виде
U 'v" о, ^
В несжимаемой среде, сославшись на (1.10.18), имеем
/3=/3у.у = У.у = цаУ-^- = 0, V--^- = 0
33 г дца ар06
и слагаемое в (4)
(5)
Нет нужды включать его в выражение принципа, когда р" - независимые
параметры; отпадает необходимость вводить множитель связи. Выражению (4)
придается вид
= (з)
§18] РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБКИ 309
Заметим еще, что вектор ускорения и условие существования потенциала
ускорения можно представить выражениями
, dR . d2R
Ь = -7Г Ц Ч й-г р р ,
dp dp dp^ ^
d** I d2R'a-B\ _ о
vxUp^ +dp%^fAy u-
Предыдущая << 1 .. 549 550 551 552 553 554 < 555 > 556 557 558 559 560 561 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed