Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
IE Я, Я,
j dzj ^RoRdR=2lERaR ~1В Я о я
= 0.
§ 14] ИЗГИБАНИЕ ЛИСТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ПАНЕЛЬ 301
Их главный момент относительно оси панели в соответствии с (2) и (9.10)
можно представить выражением
mz = 2El j [R(a-p0) + R*-^
До
dR
= 2 El
До
¦-2EI
_ L~T
= 2 El
д. д,
Po{R\ - Rl) + R23 - j* RadR
Ro Ro
(Rl - Rl) э (I! (R0), /2(i?"))-j RadR
Заменив здесь Rlt R0 их значениями и учитывая (4), приходим к выражению
момента
axn + h
mz = 2ly al(al + h)
ha(Ii(R0), I2(R0))- J э(1и Ijda1
L
. (5)
Другим его представлением служит равенство
Ri г д. д.
mz = 21Е J R Rgr dR 2IE R2or - J RoRdR
До
До До
-2IE j RaKdR.
До
(6)
Оно позволяет представить выражение продольной силы в виде [см. (9.10)]
1
Q = 2a J RazdR = ~
До
Wmz-
+Ч*[йМ+&(?-тю.
(7)
302
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
и условие обращения ее в нуль представляется уравнением, определяющим Е2.
Получаем
МЛ (До). Л (До))- I э (Л> Л) da
°0
a\ + h
. Y o\(a\-[-h) (ЕЕ3
- дэ . Е дэ , ,
!------------------------------------- с{сЕ (8)
do 1 г \/ 1 / I , . \ д!о к '
1 Еу о0 (а0 -
н при вычислении /,, /2 следует .выразить через переменную а1
I Yal(ao-l-h) { Е______________.
Еа1 ~'еУШ±^) ' (9)
I fa1 , Д KqUqq \-h) , р_2
Выбор постоянной а\ связывается с шириной полосы 2b и центральным углом
панели 2а
a = lB=±[al(al + h)]-^, i + (Ю)
По'приведенным формулам по заданию материала, размеров листа h, 2Ь, 2/ и
требуемого угла панели определяются напряжения в ней, наружный и
внутренний радиусы Rlt R0 и длина 2IE.
§ 15. Универсальные решения при наличии
массовых сил
1. При потенциальных массовых силах уравнение статики имеет]* вид
V'T = Vit, pk--Vu (1)
и его решение представляется суммой частного решения Ел и "общего"
решения Т однородного уравнения. Для несжимаемой среды
дэ дэ ''
Т = Ея + Тя, V • Т -- - Vp + V • Т/:, T---pE + 2(Fa/) в ^
Ф
и поэтому
T,E(^-rt+2(F (3)
Первым шагом построения универсальных решений было исключение р из
уравнения статики - см. (7.8.3). Поэтому определяемое
§ 15] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАССОВЫХ СИЛ 30,']
в этих решениях преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе
говоря, вектор места R, зависящий от материальных координат н некоторых
постоянных, не зависит от р. Эти решения поэтому применимы для тензора
напряжений (3). Различие возникает ка этапе определения поверхностных
сил, реализующих рассматриваемое состояние
В универсальных решениях р, F, g зависят лишь от одной из координат
(пусть q1), а на "основных" поверхностях q1---const принимают постоянные
значения. Поэтому во избежание трудно осуществимых поверхностных сил
(которые зависели бы от q2, q3) требуется, чтобы потенциал л также
зависел бы лишь от q1. Этим существенно ограничивается применимость
универсальных решений к задачам, в которых требуется учет массовых сил.
2. Вращающийся цилиндр. Цилиндр вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг своей оси. В системе осей, связанных с вращающимся
цилиндром, уравнению движения придается вид уравнения статики, в которое
включены "центробежные силы" с потенциалом
В универсальном решении (9.14) полагаем Б -^0, С -1, 0-^=0, Е = 0, F -
А~1. По (9.16)
F- Л[Е + (/1-3- 1) kkj, g--= Л-1[Е + (Л3- 1) kk],
Поверхность цилиндра R-~R1 (ее радиус в отсчетной конфигурации
обозначается гг) свободна от нагружения. Поэтому
az = 1 ЛрсоЦЦ - г3) + 2 (к-3 - 1) Л + Л . (7)
Постоянная А определяется условием отсутствия продольной силы. Учитывая
RdR = Ardr, имеем
я - - 2-р ш2/?2.
(5)
Л-2А + А-3, 12-=2А-1 + А2,
так что э (А, /2) - э (А) = const. По (9.17) и (3)
(6)
Т
2
(Арш2г2 + qB) Е + 2(А-3 - 1) А (|^+ А kk.
АрсоЦЦ -г2)
(8)
о
,304 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ (ГЛ. 7
Здесь > 0, > 0 в соответствии с эмпирическим
крите-
Oil 0*2
рием (5.11.3). Поэтому Л>1-цилиндр утолщается и укорачивается.
3. Вращающийся полый цилиндр. Задача существенно усложняется. Как и в
задаче Ляме (§ 11) разыскивается двухпараметрическое решение (11.1).
Повторив вычисление § 11, приходим к формулам для нормальных напряжений
Rx
<r*=4pco*(?S-?a)-4 J r2wdR'
Ro
аФ = -^- + ^
oz-=oR + 2 (л-2-Л2^) (-^r + ^^r
так что -0 на внутренней поверхности цилиндра. В этих формулах
доп А 2 дэ дэ В 2 / г2 R2 \ ( дэ . дэ
dR - poiR-Br gR , dR-Ar2R[R2 A2r2) \ dh^dh
Постоянные А и В определяются условиями отсутствия нормального напряжения
на наружной поверхности цилиндра R = R, и продольной силы Q. Приходим к
двум уравнениям
ТР"'("-Л9-2 J'f (¦?--&) {#%-,+%) • <""
R1
^sRdR + 2]'RdR (А--А^l)(|L+*i|L)=o. (11)
R о R о
После введения переменной интегрирования (12.3) эти уравнения
преобразуются к виду
§16] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 305
Согласно эмпирическому критерию правая часть уравнения (12) положительна,
так что *о>4- По (12) отсюда следуют неравенства
40 + б) > 4 + ^8, 4> A, xf> А.
Следует ожидать, что при вращении полого цилиндра, как и сплошного, его
диаметры (внутренний и наружный) увеличиваются, а длина укорачивается,
иначе говоря, что Л> 1.
