Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
тех же постоянных А, ...,?.
2. Разгибание цилиндрической панели. Семейством преобразований
определяется разгибание цилиндрической панели г0 ^ г ^ гit -Фо<Ф<Фо> -i ^
z ^ / в плоскую плиту. Условие несжимаемости сохраняет вид (2).
Повторяется с некоторым изменением последовательность вычислений п. 1.
Векторные базисы актуальной конфигурации и градиенты деформации равны
R - ~2 Лг2^ + (?ф 4~ Cz) i2 -f- (Dq> -f- Ez) i3
(11)
R1 = ^ri1, R2 = ?i2 +Di3, R;j Ci2-f E\3,
Rl = ^ii, R2 = Л (?i2 - Ci3), R3= Л(-П12 + B\3),
VR = r^R^ = Artr-j-j- (Bi2 -f Z)i3) -f- k (Ci2 -(- E\3),
Vr - R% = j-r ixer + A (?ia - Ci3)re(f + A (-Di2 + Bi3) k,
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
289
так что
F = 2АхЧ111 + (А Я* 4-С2) i2i2 + (A Z)2 + ?*) i3i3 +
"1" ( 2^1+ •^'с) (*2(r)з + *з*г) >
в ~2ХЖ ^ + (2Ах1?2+ А2°2) l*i* + (2Ах'С* + А2В2) i3i3 +
+ (-2Ах'ЕС - A*BD) (i2i3 + i3i2), Л (F) = 2 Ax1 + А (B2 + D3) + C2 + ?2>
7^F) = ro+2 л*х (?г+C2) + Л2 <D2+S2) - (12)
V-F - 2Aij, V-g- 2AX1'*1'
Далее получаем
Vn = i J-f^Ax1- -АЛ d-d +4Ax1 -________________________________- A_
v" 1 dx1 V d/j Лх1 d/2,/ ' P - Po + aax a/i Лд;1
и по уравнению состояния находим Oi^-Po,
_L 9 j?L ^ 9 A vl__J_
2X1
oi = -p0 + 2?-(-2Ax1 + -?iBt + Ci
+ 2|(жт-ые^-аю*),
a,--ft + 2|E(_2.4x.AL + iA0= + ?.
+2w;(dF-2/lcv-/1'B!). <>3)
= 2~ ( A BD + EC) + 2 A (2AxSEC + A2BD).
На поверхности плиты x1 = const допускается равномерное распределение
давления а, =-р0. Постоянные А, Е опре-
деляются заданием сил и моментов на ее боковых поверхностях. Р-| 3.
Преобразование цилиндрической панели. Панель ограничена соосными
цилиндрическими поверхностями. Преобразование задается соотношениями
B2 = Ar2-fB, Ф = Сср+Вг, Z = Eq-\-Fz, R = BeR + Zk (14)
при условии несжимаемости
A(CF~DE)= 1. (15)
Ю А. И. Лурье
290
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ,
Вычисление дает следующие представления тензоров F, g, их инвариантов и
дивергенций:
F - A2 Al е"ей+ R2 (^ + D2) еФеФ + ( ^ - J- F2) кк +
+ R(~ + DFj(t фк + кеФ),
^ екек (r2E2 А-Е2) еФеФ-| А2 (С2 + r2D'2) кк -
гМ
Л2
з (DFr2JrЕС) (еФк 4-кеф),
Л (F) А2 h (F)
R2
R2
-\-^-C2 + R2D2+~A-F\
VF =
V-g =
rM2 1 Д2 d r
3 2,2 3 2
F2 + ~ E2 -I- A2C2 + r2A2D2,
a 2 _pl l Д2 y_
t/Д Д2 ^ Д2
¦R(Cr* + D*
1 d Д2
Д2
/l2d7 г2 ^ /12г2 ' Д:! 'rE^
eD.
(16)
Давление p, определяемое уравнением статики, оказывается равным
R2 дэ
р = р0 + 2 (Л2~^
Д2;-2 д/д
+ 2ff
*
д/, V Д2
Д2
дэ /_Д2_
d/o I Л2г'2
С2 - /?2?>2
,2 Р2
(17)
Компоненты тензора напряжений определяются формулами
"* " -л " '••дат-?-с' - RD'
R о
да / /?2 дЬ \ А^г*'
г2 /72
42/72 _1__________42 ±_
R 2 Я 2
°ф _ йд
(18)
°z = Gr - 2
да
- Ж- д/, И Д2
Д2
тгФ = 2
Здзсэ также на внутренней R = R0 и наружной R = Rх цилиндрических
поверхностях получено равномерное распределение поверхностных нормальных
сил.
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
29]
Постоянную В в (14) можно выразить через внутренний и наружный радиусы
г0, г, отсчетной конфигурации
В -.-Rl-Art :R!-Ar*, Rt-Rl-A(rl~r\). (19)
Для полого цилиндра по условию однозначности перемещений следует принять
С 1, ЕЛ). (20)
Уравнению неразрывности (15) теперь придается вид
AF - 1. (21)
4. Радиально-симметричное преобразование полой сферы. Оно
задается соотношениями
IE t-r .1. Н -0, А-Я, (е---=±1). (22)
В этом преобразовании
F = ( я* - -тг) eReR Jr Л Е- g = ( л - i ) e"eR + Л Е'
v-F-e" [hi
xj ft [ал
/,(F)=^ + 2^) /2(F) = ^-!-2^
Давление p и компоненты тензора напряжений равны
"/г* fe R1 дэ \ , . Г /-в - / йэ Р2 d3\dR
-я^-[дЁ+ЁШ1)Т' (23)
"о
,Г / ds , Я3 дэ \dR 1 d 02
°/г- Po+4J /уП2 (чр/] 1 р/J д. оа-Ол 2RdRRaR-
R о
(24)
Равномерно распределенные по внутренней (/^ - /?") и наружной {R-Ri)
поверхностям нормальные к ним силы представляются выражениями
t t t , * ? ^°-ceY 133 . л- дэ\ав
Та - Ро, h /о-Г^ j \д/Л г2 д/2) R '
"о
Постоянную Л мсжно определить формулой
A-.Rl-Erl^Rl-erl. (25)
5. Преобразование цилиндрической панели (Шилд, Клинг-бейль, 1966)
в цилиндрическую панель другой кривизны
13*
(R4 ы3
g Я2
2 /Н R'1 V
R U4 - j
2 и-у
~R V с4 '"V.
/2 (F) = л4 , г4 г
292
Несжимаемый упругий материал
[гл. ?
задается выражениями
R = Аг, Ф = 51пг + Сф,
Z = Dz,
R = #en + k Z; Л2С?>=-1.
(26)
Здесь
R^-Л(ед + ВеФ); R2
Dl еК г*" ^
R. Dk;
D 2 .
/4 ' к ' CR
_'к_
"D
ЯСеф (ец> - BtR), R
Всф) ДСефеФ Dkk,
' A ''R^r -г сд (e(r) 7?cw/ ~ф I д
и представления мер деформации приводятся к виду
VR = Аег (е#-
1 1 ии
Vr = т е*е, + ^ (еф - Вея) еф + -
F А2
'А2
еяе/г ¦ I- (fi2 + С2) е<1>еч- I В (е#еф -f еФея)] + D2kk, е"ея ( 1 + с2)
+ ^ ефвф " 5 (еяеф + ефе"^
kk
+ ?)2
(27)
Инварианты и физические компоненты этих тензоров постоянны
/, (F) ^ Л2 (1 + S2 + С2) + D2, Д (g) = (В2 + С2) + ± ,
но, конечно, сами тензоры F и F-1 -не постоянные тензоры. Постоянна
удельная потенциальная энергия, значит -коэффициенты определяющего
уравнения. Дивергенции V-F, V-g равны
А2
F = ^ [(1 - В2 - С2) ея +2Веф], V-g =
С2А4
V ¦ F
и определяемый уравнением статики градиент давления р представляется
