Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
производных э; приходим к
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
285
системе уравнений
V/1x(V/1-F) = 0, V/2x(V/2-F-1) = 0, (5)
V/2 х V (/, • F) + V/x x (V/2 ¦ F) - V+ X (V/j-F-1) = 0,
V/xX (V/2• F-1) + V/2 X V• F"1 - V/2 X (V/a ¦ F) = 0, W
Vx(V/1-F) + V/1xVF = 0, VxfVij-F-^+V/jXV.F-^O, (7) V x (V/2 • F) + V/2 x
V • F - V x (V + ¦ F-1) - VJi x V- F"1 = 0, (8) V x V- F = 0, Vx V - F_1
= 0. (9)
К ним присоединяется условие несжимаемости
/з (F) = 1
и шесть условий равенства нулю компонент тензора Риччи (111.10.21),
выражающихся через компоненты gsk, gsk искомых тензоров F и F_1 = g.
Существенным условием является также выполнение неравенств,
характеризующих положительность тензора F -его собственных значений
cyst's, связанных равенством
?+2^3 1 *
Сильно переопределенной системе 9x3+1+6 = 34 уравнений удовлетворяет
постоянный в объеме тела тензор F, определяющий, как следовало ожидать,
линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную. Но
оказывается, что этим не исчерпывается множество всех преобразований -
тензоров F, удовлетворяющих всем перечисленным требованиям.
§ 9. Перечень универсальных решений
Исследование систем уравнений § 8 и вывод из них представлений искомого
тензора F отнесено к § 21 этой главы. Здесь перечисляются результаты
этого исследования.
Используются обозначения а1, а2, а3 и х1, х2, х3 декартовых координат в
отсчетной и актуальной конфигурациях; г, <p, г и R, Ф, Z - в
цилиндрических системах этих конфигураций; г, 0, ^ и /+ 0, А-в
сферических. Правила дифференцирования единичных векторов цилиндрической
(ег, еф, к и е#, еф, к) и сферической (ег, ее, и е0, ел) систем координат
приведены в III, § 7 -формулы (III.7.18) - (III.7.20).
Материальными координатами служат координаты (декартовы, Цилиндрические,
сферические) в отсчетной конфигурации. Семейства Эриксена представляют
задания координат места в актуальной конфигурации, как функций
материальных координат, иначе говоря -преобразования R = R(r),
удовлетворяющие усло-
о
вию несжимаемости detVR= 1.
286
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
1. Изгибание плиты в цилиндрическую панель. Семейством преобразований
R - V 2Аа}, Ф = Ва2 + Са\ Z~^Da2 + Ed\
R = tR У 2 Л а1 + k (Da2 + Еа3)
(1)
плоской плите (а\ ^ а1 < сопо-
ставляется цилиндрическая панель. Постоянные связаны условием
несжимаемости
Векторные базисы актуального состояния представляются формулами
Выражения градиентов деформации и мер деформации Фин-гера и Альманзи
приводятся к виду
Компоненты этих тензоров, значит и их инварианты, зависят от одной лишь
координаты R актуальной конфигурации (от координаты а1 отсчетной
конфигурации). Это -общее свойство универсальных решений. Оно
предопределяет простоту уравнений статики, их решение сводится лишь к
разысканию^ функции р, после чего выражения компонент тензора напряжений
составляются по уравнению состояния.
Л (BE -- CD) - 1.
(2)
R3 = ЯефС -{-кЕ;
R^-Je*. R2= Л (1еФ-кс),
(3)
VR = FR^ - -p- ixe^R (Bi2 + Ci3) вф-f- (Di2 -J- ?i3) k,
* R
Vr - e^ix -f еФ (?i2 - Di3) -j- Л к (-Ci2 -f Bi3),
(4)
F = VRT• VR = ^ tReR + ?2 (В2 + С2) еФеФ + (D2 + ?2] kk +
+ R{BD + EC) (ефк + кеФ), (5)
g = F-1 = Vr • VrT = % tRtR + (?3 + D2) еФеФ +
+ Л2 (С2 -\- В2) kk-- (BD + AC) (еФк +кеФ). (6)
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
287
ь ' Инварианты /, (F), /3(F)=/х (g) и дивергенции V-F, Vg равны
h (F) = ^ + R2 (В* + С2) + (D2 + Е2),
/2(Р)=5 + ^(^2 + Д2) + Л2(С2 + В2),
(7)
V-F =
.[4! + ?*(S* + C2)]e", V.g=[?g_g(?* + D*)]e*. (8)
Конечно, э(1и /2) - функция только от 7?. Это позволяет записать
уравнение статики в виде
Vp = 2V.TK^2V.(-^-F-
дз
V-F-
дэ
7
дэ
дэ__
'dl.
F-1 =
- 2ей
дЛ
I дэ
\дП
дз
v -
д/2
Д2
_ + Я(Я2 + С2)
_дэ д!2
Л2 ДЗ
(?2 + Л2)
+
Л2 d дэ Д2 d дэ
Т2Ш.Жх~А*Ш~дh
}¦
Складывая его с равенством
Y7 / дэ д/) ,
= 2i--
I д/i
дэ д/а д/2 дД
-~ + -R(S2 + C2)'
дэ д/2
A-d! (?* + ?")'
приходим к соотношению v(P + d) = 2ew
2Д2 дэ 2Д дэ , A2 d дэ R2 d дэ
ЖЖ~^Ж ЖдД дТЖ'Л2 7Д Ж
Л2 дэ Д2 дэ
я2 Ж-ЖЖ
;2v(-
Этим определено с точностью до аддитивной постоянной р
, 0 / Д2 дэ Д2 дэ \
Р-Ро + 2(т72 Ж~л^Ж/ '
Выражение тензора напряжений Т записывается по уравнению состояния
288
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
ГГЛ 7
По (5) и (6) приходим к представлениям его компонент
Решение "универсально" - представлено в единой записи через задание
удельной потенциальной энергии.
Остается выяснить, каким распределением поверхностных сил реализуется это
напряженное состояние. На "основных" цилиндрических поверхностях панели R
= R0 = ]/2Aal0, R - Rx = У 2Aa\ допускается лишь равномерное
распределение нормальных сил
и определяется р0. Поверхностные силы, которые должны быть распределены
по остающимся поверхностям панели -в них преобразуются прямоугольные
границы плиты а2=+Ь, а3=±/, зависят лишь от R. Они (эти силы;
определяются самим решением, а задания главного вектора их и главного
момента на каждой из этих поверхностей приводят к системе уравнений для
