Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
специализируемые, и q3 = x3, так что
a" = a"(^1, q2), xa = xa(q1, q2)\ x3 = q3, a3 = -^- (2)
и как всегда греческим индексам придаются значения 1, 2. Векторные поля b
и В на плоскости определяют базисы
= ва = 1р|^, b" = ea^bp х i3, B" = e"3Bpxi3. (3)
Здесь е, ? -плоский тензор Леви-Чивита с контра- и ковариант-ными
компонентами
е"р = у=е"0, = еае = УЪеар, €а0^УВеар, (4)
( 0, а = р,
еац = еа$=\ 1, а=1, 0 = 2,
[ -1, а = 2, 0 = 1,
§5] ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 267
причем Yb, YE - якобианы преобразований
<6)
Определяются градиенты места и по ним плоские меры деформации
VB=b"Ba, VBT = Bab", Gx-=VB-VBT-5aebabP,
Fx - VBT • VB = Ьа|3ВаВ,з, gx = F-1 = feaPB"BP.
Здесь ba&, 5"p -контравариантные, ba$, Ba|3 - ковариантные компоненты
плоского метрического тензора Е2. Инварианты плоских мер деформации
определяются формулами
Л (Fx) = /; = Ьа$Вар = GJ + G%, I\=*=GIG\, Ix( gx) = 4- (7)
72
2. В последующем преобразовании уравнений плоской задачи к комплексным
переменным в качестве материальных координат оказывается плодотворным
выбор комплексных координат ^ = 2, q2 = z, в актуальной конфигурации.
Условившись сопоставлять вектору c = c1i1 + c2i2 комплексное число
(вектор) c = c1 + t'c2, можно скалярное произведение двух векторов
представить в виде c-d = Rec<i. Это приводит к соотношениям
к Ээ , d'Q /д * д \ г , da , dt, . ( д д \ у
bl - дх1' bl ~ уд г gj) 2 дх* ' Ь*~дх*~1\дг дг)^'
так что
ъ -ь -ь = *-* ъ = ь
11 11 дх'-дх1 ' 22 дх? дх^ ' 12 2 \дх1 дх* дх1 дх? )
Перейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
ы+с,^(||.ь§§), ы-^2(|§+§§),
''¦=г(й §-§§)• (8>
Потребуется еще представление определителя преобразования {z, z)-(-(а1,
а2)
208 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
3. Переходим к рассмотрению поля преобразования (1) - на плоское
векторное поле налагается перпендикулярное ему поле. Материальными
координатами служат qx, q2, q3--=x3. Векторные базисы задаются
выражениями
П = Ьх, г2 = Ь2, г3 = ; Rj = Вх, R2= В2, R3 = i3,
g=\gsk\ = -^r> G == | Gsk | = B. (10)
Тензоры градиенты места и мер деформации равны
7R = r% = b"Ba + r3R3 = VB + ci3i3, VRT = VBT + ci3i3, (n) G =
Gx+c'2i3i3, F = Fx+c2i3i3.
Компоненты (аЗ) этих тензоров обращаются в нуль -это и является
существенным свойством плоской задачи. Инварианты мер деформации
оказываются равными
I^n + c2, I^n + c2Il 13 = с2^ = с2Ц (12)
Следствием этих формул является соотношение между инвариантами Ik (G)
h-= ^- + 04,-0* (13)
и удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как
функцию инвариантов /х, /3
з(л, с*Л-с*+-рг, /з)=зх(/1, /3), (14)
так что
dh dh dl2 ' dJ3 L dl2^ dJ3 • { 1
Уравнение состояния, основываясь на (11), можно записать в виде
Т= Е/, lk+{?r+ '• У) F" рХ' +
+ [(1г + ''ж)с!-7Л,:,]у"}- (16)
Отсюда следуют соотношения
("-0. и- 1,2; (- = 2/,-^+c.[^L+(/l_c.)^.]}
(17)
§5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
269
и определяется тензор на плоскости
Тх = f"РRaRp = = 2/я- V. |E2/s
дэ
3Ж
/ дэ
\Ж
д'4 \ р х дэ р у г )
dlt J д/.г j
Заменив здесь плоский тензор Fx2 его представлением по теореме Г
амильтона - Кэли
получим
Тх = 2Ц
7*
Е" L
рх2
дэ
/;fx-e2/°,
¦/!ж) + (ж+с!ж)рх
По (12) и (15) это выражение приводится к виду
дэ*
Тх = 2/3-"ЧЕ2/3^
рх
(18)
Тензор напряжений представляется формулой
рх
ад г ^
Т = ТХ -f- i3i3/33 = 2/^,/г |е2/ азХ '
+ *3*3
1 д!3 им
I г2 дэ . 2 . J 2\ дэ
д!3 Ж + ° Ж
(19)
4. В несжимаемом упругом теле .9 = э(/1; 1.2). Соотношения (12), (14),
(15) приобретают вид
/! = /; + <:*, /2 = с-2, /2 = с-а + с*/1 -с4 = с-а + с*/;, (20)
з(/1; /2) = э(/1, C2/1 + C-2_C') = 3X(/1), *1=* (21)
а второе уравнение (11) отпадает, так как /3 не входит в исходное задание
э; слагаемые, содержащие дэ/д13, дэх/д13, должно отбросить из выражения
(19). "Определяемое" напряжение Тя представляется формулой
\
: 2 •! -тт- Fx \ dlt
ж+^-^ж
(
и выражению тензора напряжений Т придается вид
Т = - рЕ + Тя = - рЕ2 - pi3i3 + Тя = Тх + i3i3/33. В этой формуле Xх __
?"PRaRp = - рЕ2
-¦r*^Fx
t3
¦ р +2c2
*- + (1 -с2)~ dll i-Hi c ) d/2
(22)
(23)
(24)
- тензор напряжений в плоской задаче для несжимаемого материала
представлен суммой плоского тензора Тх и тензора i3i3i33.
270 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Эти тензоры не зависят от третьей материальной координаты qs = х3.
Уравнение статики при отсутствии массовых сил преобразуется к виду
V.T=(v*+l,i,^)'T =
= (В" 3^ + '• К-) • <Т* + ГУ") = V*• Т* (tm) 0, (25)
так как производные по х3 равны нулю, a B"-i3 = 0. Компонента /33 тензора
напряжений определяется формулой (24); входящие в нее инварианты /j, /2 и
множитель связи р (давление) станут известными функциями материальных
координат ql, q2 и с из решения задачи равновесия для тензора Тх; на
последнем этапе постоянная с определяется по заданию продольной силы Q
Q = ^ /33 ФО = j ^ t33d da1 da2 = j \ ]/~t33da}-da2. (26)
s s' d(a , a ) g
5. По (2.4.9) уравнению статики удовлетворяет представление Тх через
