Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующее линейной задаче с "поверхностными силами"
1п(-|фмо+4^-ф(c)ф7Г))+у"(фг(Р1(,ф(0 #-
-?Ф(?)Ф'(Qj^nPG, y + nQ&, 0, (12)
известными по решению задачи (8). Без труда проверяются соотношения
о ^- + -^==0
Из них и формул (8) следует, что главный вектор "сил" (12) равен нулю.
Выражению главного момента их придается вид т° = Ti $ t?(пР + nQ) - ? (пР
+ nQ)] ds =
I
= - i JS (P-P) d° = 2i J J (Ф2 (?) -ФЙБ)) do
ь ь
и условие обращения его в нуль приводит к соотношению
$$[Ф2(?)-ФЧЦИо = 0. (13)
!>
Но^решение линейной задачи определяет функцию Ф (?) с точностью до
аддитивной чисто мнимой постоянной iC. Приняв
Ф (?) = Фх (?) + iC, Ф2 (Q = Ф2Х (D + 2/СФх (С) - С2,
Ф2 (?) - Ф2 (?) = Ф^ (?) - Ф2х (?) + 2iC (Ф (0 + Ф (?)),
можно теперь переписать (13) в виде
2С$$[Ф(Б) + Ф(Б)]do =1 И [ф2х (?)-ФШdo.
ь ь
Постоянная С может быть определена отсюда при условии
2 SS [Ф(е)+Ф7ё)]л>=и=о.
ь
В задаче о плоской деформации
2 (Ф + Ф) = а, + аа = ^ ст3, j j (Ф + Ф) do = Q
j j 5l О "ФИЗИЧЕСКИ-HE ЛИНЕЙНОЙ" ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 249
здесь Q -продольная сила, создаваемая приспособлениями,
предотвращающими продольное смещение торцов цилиндра (было принято,
напомним, с= 1).
§ 15. О "физически-нелинейной" теории упругости
Известно, что в некоторых материалах (горные породы, чугун) уже при
весьма малых деформациях обнаруживаются нарушения линейной зависимости
тензора напряжений от линейного тензора деформации s. В "физически-
нелинейной" теории предлагается компенсировать этот недостаток, сохраняя
в уравнении состояния вторую и иногда более высокие степени е.
Такой прием учета, предложенный Каудерером (Н. Kauderer, 1958), получил
распространение в ряде публикаций. Здесь он сопоставляется с построениями
"эффектов второго порядка", в которых сохраняются все слагаемые,
квадратичные по градиенту деформации вектора перемещения Vu.
Ограничиваясь рассмотрением изотропного упругого материала, будем
исходить из соотношений (2.7.6), (4.1.8)
6 э-
]/-§- эс--6Сг = Г--бС*, (1)
в которых С -тензор деформации Коши -Грина (1.7.9), а Т~- энергетический
тензор напряжений (2.6.11)
C = e(u) + |Vu-Vu\ Т~ = j/'-J- эс. (2)
Тензор напряжений Коши по (4.3.26) связан с Т~ соотношением
О О / о \ / о
T=VR^.T''.VR= (4E + VuTJ-T''-U + Vu/
= Т"+ VuT T''+T~ Vu + VuT T~ Vu. (3)
Задавшись удельной потенциальной энергией э в форме Мурнагана
э = 1 (I + 2р) /? (С) -2р/2 (С) +1 (/ ¦+ 2т) 1\ (С) -
- 2т/1 (С) /а (С) Ч-"/, (С), (4)
но (11.3.3) получаем
а/г (С) + ^ dh (С) + д13 (С).
- [s77(C) + /l С
Е -
, дэ
h a77(cj
С2 =
о
т (С) + [И\ (С) - (2т-п) /3 (С)] Е + (2т - п) 1Х (С) С + пСа, (5)
250 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [гл. "
О
причем Т (С) - линейный оператор закона Гука над С 0 0 0 , 0 / 0 0 \ т
(со = ал (С) е+2рс = т (е)+\ т {vu • vut ) =
/0\ 0) /0 0 ''i оо
= X/j [г) -f 2р,е + у 11г l.Vu-VuTJ + pVu-VuT. (6)
G u u
Конечно, Туе/-- тензор напряжении линеинои теории упругости. Сохранив
теперь в (5) лишь слагаемые не выше второй
о
степени относительно Vu, получаем
0 /0\ , / 0 0 \ 00 т~ (С) = т(8;+у ал (,vu-vutJ E + pvu-vuT +
+ {11\ (е) - (2т -п) 1г(е)]Е + (2т-п)11 (^е + яе2. (7)
По (5.3.6) и (3) приближенному представлению тензора напряжений Коши Т
придается вид
О /0\ О , / О О \ 00
т = тц;-л (е)т(8) +-^-а,л (.vu-v^j+pvu.vu^
-f VuT • Т (е) + Т (в) ¦ Vu + [//? (е) - (2т - п) /2 (е)] Е +
/0\ О 0
+ (2т - п) Л (е) ? + пг2. (8) Его, конечно, можно преобразовать и к
знакомому виду
/0 \ 0 0 -f- (2т - п) Л \е) ? + п?2 (9)
- обозначения несколько изменены с целью сопоставить (8) или (9) с
представлением Т в "физически-нелинейной" теории.
В последней удельная потенциальная энергия деформации предполагается
зависящей только от линейного тензора деформации: э(С) заменено на э(е).
Например, для материала Мурнагана принимается, во-первых, вместо (4)
э =- у (I + 2р) 1\ (е) - 2рЛ (е) + у К + 2т) If (г) -
- 2тЛ (е) Л (е) +"Л (?)- (1П)
Во-вторых, верные в линейной теории соотношения
бэ = Т--б?т, Т = Э0 (11)
: 151
О "ФИЗИЧЕСКЙ-НЕЛИНЕЙНОЙ" ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
251
считают применимыми вместо (1) и при учете слагаемых второй о
степени по в. В-третьих, вычисляемый по (11) тензор Т не представляет ни
тензора напряжений Коши, ни энергетического тензора напряжений.
При сделанных упрощениях тензор напряжений "физически-нелинейной" теории,
обозначаемый далее Т по (10) и (И) представляется выражением
Х = з" =--= Т+ [//i (в) - {2т -п) /2 (в)] Е + (2т-п) 1г (в) s + ns2.
(12)
Оказались утерянными слагаемые той же второй степени по градиенту вектора
перемещения, что и учитываемые этой теорией
/ V0 0
Т-Т =у JLvRT-3c-VR-з* =
8
/ 0 \ 0 / 0 \ 0 0/0 \ 1 0/0 о
: -/ДвМв) + 2в.Т (вJt4Vut. Vu
(13)
В приводимом далее иллюстративном примере простого сдвига компоненты
тензора напряжений Коши, определяемые формулами (4.7) по заданию (5.3.2)
удельной потенциальной энергии, представляются формулами
/и = - 1 2
/22 1
2
(А. +2р.) -hT/s2 + m(l -f s2)+2p (s2)
s2,
(^ + 2p)+T/s2 + m(l -fs2)
