Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 54

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 742 >> Следующая

имеем
Gs =-------- п\ (2.4.90а)
Fs = -Kn. (2.4.906)
Частота малых колебаний и максимальное отклонение импульса аналогично
предыдущему равны
vs = (FsGs)i2, (2.4.91)
А/макс = -^- (2.4.92)
Расстояние 8/ между соседними вторичными резонансами (гармоники пи п + 1)
можно найти, используя (2.4.886) и соотношения
- Q = 0, (/г+1)^юф+-^^-Й = 0, (2.4.93)
откуда (при п > 1)
б7=-^4-- (2.4.94)
Gs
С помощью выражения (2.4.92) для А/маКс получаем для вторичного резонанса
2Л7ма"с ^ (2.4.95)
б/ ?Оф
что совпадает по форме с аналогичным соотношением (2.4.74) для первичного
резонанса. По индукции заключаем, что это отношение сохраняет свой вид и
для резонансов более высоких уровней (третичных и так далее), т. е. оно
является универсальным. Заметим, что вторичным и более высокого уровня
резонансам отвечают невырожденные гамильтонианы.
Численные эксперименты. Детальные численные исследования были выполнены
Смитом и Кауфманом [385, 386] для невырожденного случая (косая волна) и
Карни, Берсом, Фукуямой и др. [222, 220, 145] для вырожденного случая
(перпендикулярная волна).
Для косой волны Смит и Кауфман исследовали движение вблизи
резонансов с I = kzvJQ - - 1; 0; 1 в системе отсчета волны
(со = 0). Они выбрали k± (2E!M)U2IQ. =1,48, где Е дается выраже-
140
Глава 2
а
N
Р
N
•••••• ^Зг
Рис. 2.10. Поверхность сечения в переменных kzVzfQ сс Рф и kzz = tp в
слу-чае взаимодействия частицы с косой (кг =? 0) волной (численное
моделирование) (по данным работы [385]).
а - слабое возмущение^Ф = А^еФц/ЛШ2 = 0,025^; б - сильное возмущение (Ф =
0,1).
Численные результаты представлены точками, которые соединены от руки
сплошными линиями {для регулярных траекторий). Начальные условия отмечены
крестиками. Видны три резонанса.
Каноническая теория возмущений
141
нием (2.2.66) при со = 0, е = 1 и kz = kx, что обеспечивает близкое к
максимальному значение функции Бесселя fi(k±р). Их результаты для
зависимости vz (ос Рф) от ф приведены на рис. 2.10, а
к±Р
а
к±р
Рис. 2.11. То же, что и на рис. 2.10 для kz = 0 и со/?2 = - 30 (по данным
работы [219]).
а - слабое возмущение; б - более сильное возмущение.
и б при ЩеФ01Мй2 = 0,025 и 0,1 соответственно. На рис. 2.10, а видны
первичные резонансы, относительная частота малых фазовых колебаний
которых равна со^/й = 1/10, что согласуется с формулой (2.4.71).
Вторичные резонансы в этом случае слишком малы и поэтому неразличимы. На
рис. 2.10, б видны вторичные резо-
142
Глава 2
нансы пятой гармоники, т. е. с частотой co^/Q - 1 5, что опять
согласуется с (2.4.71). Размеры вторичных резонансов можно приблизительно
вычислить из соотношения (2.4.92). Разбросанные в окрестности сепаратрис
резонансов I - - 1 и ( = 0 точки представляют стохастические траектории
(см. § 1.4). Решения, полученные в данной главе с помощью метода
усреднения, совершенно не отражают стохастическое поведение. Обратим
также внимание на резонансы второй гармоники, расположенные между
областями главных резонансов; это явление обсуждается в последующих
главах.
Сопоставим эти результаты с тем, что получается в случае перпендикулярной
волны, который численно исследован Карни [219 J. На рис. 2.11, а и б
приведены его результаты для поверхности сечения ф == л при / = - 30.
Относительная частота малых фазовых колебаний первичного резонанса а =
аз^/Q fa 1/9 для меньшего возмущения и а fa 1/5 для большего. В первом
случае инвариантные кривые почти совпадают с полученными из усредненного
гамильтониана (2.4,65) х) при kz = 0. При большем возмущении возникает,
как и ожидалось, цепочка из пяти островов и другие уже привычные нам
детали. Размер первичных резонансов примерно одинаковый в обоих случаях,
поскольку, как было показано выше, этот размер не зависит от возмущения.
Как и для косой волны, исследование проводилось при значениях kxp,
близких к максимуму ffi (&нР)- Аналогичные результаты для другой задачи
были получены Фордом и Лансфордом [134].
2.4г. Глобальное устранение резонансных знаменателей
Теперь мы опишем метод ДЛТ (Дуннета-Лейнга-Тейлора) [111], позволяющий в
некоторых случаях устранять знаменатели сразу всех первичных резонансов.
Этот метод был вначале использован при изучении движения заряженной
частицы в пространственно периодическом магнитном поле [111], а позже
применен для анализа резонансного взаимодействия волны и частицы (п.
2.4в); последний случай рассмотрен ниже. Обобщение этого метода на более
высокие порядки по параметру разложения выполнено МакНамарой [290] и
будет описано в конце следующего параграфа.
Метод ДЛТ был разработан для изучения автономных систем с двумя степенями
свободы и невозмущенным гамильтонианом Н0 специального вида
Я0(/) = а(У1) + шаУг, (2.4.96)
где со 2 - постоянная частота, так что обе частоты со х и со2 не за-
!) Только для одной (по-видимому, правой) Гполовины поверхности сечения
на рис. 2.11. Для другой половины фазовые колебания связаны с членом т Ф
I в гамильтониане (2.4.64) ( | т-11 = 1). То же касается и частоты малых
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed