Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Исключив •& из этих уравнений, приходим к представлению
*) Понятие дисторсин Вольтерра можно объяснить так: из двусвязного тела
(тора, например) после его рассечения на поверхности о удален тонкий
слой, а затем конгруэнтные концы полученного односвязного тела снова
спаяны (в тор), причем им было сообщено малое поступательное перемещение
с и малый поворот Ь. Эту операцию образования нового тела из старого
Вольтерра назвал дисторсией. В подверженном дисторсии упругом теле
возникает напряженное состояние. Оно может быть рассчитано теоретически
по заданию векторов с,Ь. Последние могут быть экспериментально определены
измерениями смещений и поворотов концов разрезанного кольцеобразного
тела. Термин "дислокация" связывается с физическими явлениями, подобными
нарушению структуры кристаллической решетки, также создающими напряженное
состояние при отсутствии внешних сил.
V
V
555 [t"(u) + 28(u)-T°(u)+T'(u)]^ = 0. (1)
V
ат(и)= 45X5 Г(3^ + 2^(и)+(2^ + 3/-т + !-){Р +
V
V
0
V V
(Щdv¦ w
V
D
т
ЗЛ+2ц
Ш [(т^+3'-т+!)^+
V ^
-f- (^ЗЛ,-j- 6fx -f- Зт--|-)/! (s2) dv. (4)
§13] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 237
Входящие в него постоянные Мурнагана оказывается возможным выразить через
величины (5.3.21)-изменения второго порядка модулей объемного сжатия и
сдвига. Приходим к формуле, полученной Ценером (Zener, 1942) из других
соображений
^+2/3р1И{2 l + kxx (°) 6 ^хх (°)
V
Ъ2 +
+ [р + Р-хх(°)]/1 (5)
Входящие в нее инварианты •& = /, (в), 1Л (в2) определяются решением
задачи о напряженном состоянии подвергнутого дисторсии линейно упругого
тела.
Более общие результаты для анизотропных упругих сред приведены в работе
Тупина и Ривлина (Toupin R. A., Rivlin R. S., 1960).
§ 13. Эффекты второго порядка в задаче о кручении
и растяжении стержня
. 1. Линейная задача о кручении стержня. Ось Оа3 направлена по оси
призматического стержня, оси Оа1, Оа2-по главным центральным осям
поперечного сечения а3 = const; длина стержнй обозначается L, площадь
поперечного сечения S, полярный момент инерции Iр\ р обозначает вектор-
радиус точки в поперечном сечении, так что
Hpdo = 0, .^p-pdo = /". (1)
р-halJrhai' J J гии - 'о j j -1 p-
s s
Решение линейной задачи задается вектором перемещения
v = a[a3isxp + i39 (а1, а3)] (2)
- отброшены слагаемые, определяющие твердое перемещение. Через а
обозначен угол кручения, отнесенный к единице длины. "Депланация" ф (а1,
а2) -гармоническая в S функция, определяемая по значению" ее нормальной
производной на контуре Г поперечного сечения
da2 da1 \ -0\
"1 = -зг , nt=- -f- ). (3)
ds ' "2 ds .
Определяемый по (2) тензор Vv равен
v Г o'] /о \
vv = aLa3(i1i2 - i2i,) + i3 (i3Xp) + v<pi3J ^v<P = i, + i2^ J .
(4)
238 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Отсюда находим выражения линейного тензора деформации о о
e(v), его первого инварианта •& и вектора малого поворота со
8 (v) = 4 (Vv + VyT) == 4 at'3 ('3 х р) + ('" х Р) + УсР*8 + '3?СР]> (5)
(0(v) =4Vx V = -Ja(^a3'h-1Р + Vqjх i3) , {1 = 0. (6)
Тензор напряжений Т° (v) оказывается равным Т° (v) = Я.-&Е + 2ps (v) = pa
[i3 (i3 x p) + (i3 X p) i3 + V?i3 + i3Vcp] =
= T31 (*1*3 + Ml) + ^23 (*2*3 H" *3*2) t
Т,1 = ра(0-а2). T23 = pa(|j-f-a1) ¦ (7)
Постоянная a выражается через крутящий момент mz и жесткость при кручении
С
т2 = раС, тг = 5 5 (а1т2з ~ a2i:3i) do (8)
s
и по (7) и (1)
С = /
Р + Я (а1|^_а2?) do==/* + jT (*3Хр)-(9)
S S
Другое представление жесткости при кручении дается выражением
С - /р- J5 Vcp-Vcpdo. (10)
s
Имеют место соотношения
55^фсй>=0, 55р'^Ф^о==0 (11)
з s
- первое по (7) выражает, конечно, равенство нулю главного
вектора напряжений т23, т31; оно легко следует и из краевого
условия (3). Несколько сложнее подтвердить второе. Имеем
jJp-V9do=jf +
5 5 5
= (ftфр-nds -2 55 фсй> = 0,
sj3] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 239
так как из преобразования Грина в применении к ср (а1, а2) следует
f j (p-pV2<p -cpV2p.p) do = (f (p- Р^-Ф^Р-Р)ds,
s r
4 jjj^do = 2^^p-nds s г
- здесь было учтено, что ф -гармоническая функция, а линейный интеграл
над Р-р^ по (3) оказывается равным нулю:
ФР' Р= \ (а1' + °?г) (.а*п1 ~alfl2)ds = 2 (а1 а2 - аV) = 0.
ГГ S
2. Эффекты второго порядка. Необходимое условие существования
корректирующего вектора w (11.9), поскольку /г (Т°) = = 0, приводится к
виду
J J T°(v) • to (v) do = n а2 ^ - i3 р-УфсМ + а3^ J (Уф + isXp)do'j=0.
(12)
Оно выполняется по (11) и (1). Изменение AL длины стержня выражается
через среднее относительное удлинение
о
AL = Li3-Em (v)-i3 и по (11.20), (11.21) представляется выражением
^-дДмИ^Д/-('р''?у')+МГ)]~
О 5
-i3.(T".VvT + r)-i3| (13)
- достаточно знания первых инвариантов и (ЗЗ)-компонент тен-
о
зоров T°-VvT, Т'.
Вычисление дает
Ix (t°-Vvt) = Т°* • VvT = ра2[р р + 2 (13Хр)-Уф+Уф-Уф] , i3-T°-VvT-i3 =
pa2 [р-р + (13Хр)-Уф] ,
240
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
а обратившись к представлению (10.9) тензора Т', приходим к выражениям
1г (Г) = а2
i3-T'-i3=a2
