Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
J!l] ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ 233
О
Поэтому, фиксируя значение <*>' в некоторой точке тела, можно принять
г ООО
G)(V) = tt>' (V) фО)0
и представить (9) в виде GV 5SS (T°(v) -Еa)dv = - Щ [o' (v)-T° (v) -(o'
(v)a]do = c.
V V
(10)
Вектор с вычисляется по предполагаемо известному решению
задачи (2). Тензор в левой части (умножаемый на о>0) может быть определен
непосредственно по заданным силам p0k, f°. Действительно, по (2.3.7)
B = ffi Ро krdo+5Sf°rdu = 5SST0 (v)dv,
V О V
МВ) = Ш (т° (v))dy=ffi Pok-rdu+JJ f°-rdu.
V VO
Уравнению (10) придается вид
i0.[B-E/1(B)] = c (12)
и оно разрешимо, если тензор В-E/j (В) -неособенный
det (В - Е/х (В)) Ф 0. (13)
Проверка этого критерия, как сказано, осуществляется по зада-
нию внешних сил p0k, f° и не требует решения линейной задачи.
При невыполнении условия (12) краевая задача (2) не имеет, вообще говоря,
решения.
Осью равновесия а тела в отсчетной конфигурации назовем постоянный
вектор, определяемый условием
Щ (axr)xp0kdn + 5S (ахг)хf°do = 0 (14)
V О
при неизменных по величине и направлению внешних силах с равным нулю
главным вектором. Оно выражает статическую эквивалентность нулю этой
системы сил, приобретаемую при повороте тела вокруг а на 90°. Уравнение
(14) преобразуется к виду
(кг - Ек • г) dv -j- а ¦ ^ (f°r - Ef° • г) do ¦= 0
V О
Или по (11) к виду системы однородных уравнений
а-[В-ЕМВ)] = 0 (15)
234
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
и может иметь отличные от нуля решения при условии
det (В - E/j (В)) = 0. (16)
Представив симметричный тензор В в главных осях з
В = 2 /1(В) = &1 + &2 + &3,
S- 1
можно придать уравнениям (15) вид
а1(Ь2 + Ь3) = 0, а2ф3 + Ь1) = 0, а3ф1 + Ь2) = 0. (17;
Вектор а остается произвольным при b2-\-b3 = 0, Ь3 + Ьх = 0, blJrb2 = 0
или, что то же самое, В = 0. Если Ь2-^Ь3 = 0,Ь1Ф - Ь3, Ь±Ф-Ь2, то a = et;
при а-е3 = 0 вектор а расположен в плоскости (ех, е2). Конечно, возможны
расположения оси равновесия по осям е2, е3 и в плоскостях (е2, е3), (е3,
е^. Во всех этих случаях
det [В - ЕЛ (В)] = ф, + Ь2) фг + Ь3) ф3 + К) = 0. (18)
При условии же (13) ни один из этих множителей не нуль и а = 0 по (16) -
оси равновесия не существует.
Система неоднородных уравнений (12) может при условии (16) не иметь
решений вовсе или иметь больше чем одно решение; иначе говоря, когда (12)
несовместна, не исключена возможность специальных ситуаций, в которых она
станет совместной. При существовании оси равновесия нагружение не
определяет единственного равновесия, так как повороты вокруг этой оси
переводят тело из одной ориентации в неотличимую от нее другую (при тех
же силах).
Доказано, что при В = 0, когда ось равновесия -любой вектор, система
уравнений (12) может оказаться несовместной при любой ориентации тела.
Учет нелинейности в этом случае не достигается внесением предложенным
приемом поправки к решению линейной задачи.
Решение краевой задачи (4) для вектора w мало доступно, как правило,
вследствие сложности выражений сил p0kx, fx-Но их специальная структура
облегчает вычисление некоторых осредненных величин. Этим можно
довольствоваться, когда нужда в учете деталей распределения напряженного
состояния отодвинута на второй план.
S12] ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИ 235
Начнем с определения среднего значения T°(w). По (2.3.7) и (5)
Т
* т°(w) dv:
= Тв = т{Ш^'[^'Т°(v) + r Wrdv~
о
- j j n * [Vv • T° (v) + r (v)] r do j
= -тШ[т°(у)-УуТ + т'(у)]^1' (19)
V
- было использовано преобразование Гаусса -Остроградского и правило
вычисления дивергенции произведения тензора на вектор г. Средние значения
первого инварианта тензора напряжения и определенного по нему объемного
расширения оказываются равными
(w) = - v{{fWT° (v)-e(v)) + /1 (Г (v))]dv,
V
(20)
так как первый инвариант произведения симметричного тензора на
кососимметричный равен нулю:
л (Т° (v).Q(v)) = 0.
По (19) составляется также среднее значение линейного тензора деформации
2^m(w) = Tm(w)-Egr^Iaffl(w). (21)
Эти же соотношения можно получить, применяя теорему взаимности в линейной
задаче определения w по силам p0kx, fx-
§ 12. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии
При отсутствии внешних сил (к = 0, f = 0) среднее значение Ти (ц) тензора
напряжения, как это следует из (2.3.7), равно нулю. Конечно, сам тензор Т
(и) при этом может быть отличным
236 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ 1.ГЛ. 6
от нуля. Например, напряжения возникают при наличии дистор-сии Вольтерра
или дислокаций более общей природы *).
В приближении эффектов второго порядка, основанном на выражении (10.7)
тензора Т (и), условие равенства нулю среднего значения этого тензора
представляется выражением
Среднее значение его первого инварианта ат (и) для материала Мурнагана по
(10.9) выражаются формулой
ного тензора деформации в(и) через величины второго порядка малости. Но
эта же величина может быть выражена через относительное изменение объема
тела. По (10.3) получаем
