Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 527

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 521 522 523 524 525 526 < 527 > 528 529 530 531 532 533 .. 742 >> Следующая

(5х)р - ip, ± (4 + и )
и, как ожидалось,
+1, ^1 = (-§+ l) а1 = (*1 + 1) a1
Это вычисление приведено с целью показать применение принципа
стационарности дополнительной работы в простейшем случае.
§4]
ПРОСТОЙ сдвиг
199
§ 4. Простой сдвиг
Задаче о сдвиге принадлежит в нелинейной теории особое место -ею дается
неосуществимое в линейной теории объяснение предсказанных и
экспериментально обнаруженных явлений в изотропном упругом материале
(эффекты Кельвина - Вертгейма, Пойнтинга).
Простой сдвиг задается линейным преобразованием, осуществляющим
превращение прямоугольного поперечного сечения ABCD параллелепипеда в
параллелограмм AB'C'D'\ разыскиваются поверхностные силы, осуществляющие
эту деформацию.
Преобразование координат as отсчетной, натуральной конфигурации в
координаты xs актуальной и обратное преобразование задаются соотношениями
дх1
R = ipi* = r-|- iLsa2, г = isas =-= R - ^sx2, s = tg у - const
(оси X и Y имеют направление сторон AD и АВ прямоугольника, ось Z
нормальна к плоскости сдвига). Как говорилось, поперечное сечение a3 =
const параллелепипеда -прямоугольник ABCD - становится параллелограммом с
острым углом при вершине я/2 -у. Получаем
о
VR^^E + KKs, Vr = E - i2i1s,
о
VRT - Е + U2s, VrT = E - i,i2s
Меры Фингера и Альманзи оказываются равными
F = VRT. VR = Е + (iji2+ i2ii) s + ijM2, ,2)
g = Vr-VrT = E - (К12 + i2K) s-f i2i2s2,
/3(F) = 1, /t(F) = 3 + s* = /2(g), /1(g) = /2(F) = 3 + s2 (3)
-4-2 --4- -1 E-
и no (4.3.4) уравнение состояния приводится к виду
T-2[Em-+wA+w,{/'E~Fh?} = -
-НУ.+ Ui) s+ il'1 (w^+wj s>+ 3T,S']'
Полагая
9(1,, /2, /З) = з(3 +s2, 3 + s2, l)=3(s2),
имеем
200
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
При обозначениях
t = 2
(6)
компоненты тензора напряжения в декартовых осях (его физические
компоненты) представляются выражениями
Выражение t12 делает естественным наименование р, (s2) модулем сдвига; по
(4.7.12) р (0) = р -модуль сдвига линейной теории. Заметим, что ^ (s2) -
четная функция, равная по (4.3.22) нулю при s = 0. Отметим также
универсальное (не изменяющее формы записи для всех материалов)
соотношение
При s=#= 0 необходимым и достаточным условием равенства •^11 = ^22
является ^12 = 0.
В упругой жидкости /12 = 0 и равенство соблюдается, но в твердом упругом
теле наличие сдвига неизбежно создает касательное напряжение t12 и
сопровождается неравенством t22 -
явление, необъяснимое линейной теорией (эффект пропорционален s2).
Осуществление простого сдвига требует приложения нормальных напряжений по
всем граням параллелепипеда, в их числе напряжения t33, нормального
плоскости сдвига. Эти напряжения, пропорциональные s2, непредсказуемы
линейной теорией; не учитываемые этой теорией слагаемые t12 имеют порядок
не ниже s3. Универсальное свойство деформируемого твердого тела,
выраженное соотношением (8), представляет отмеченное Пойнтин-гом явление,
необъяснимое в линейной теории.
Среднее нормальное напряжение также пропорционально по крайней мере s2
Кельвин предвидел, что оно должно быть отлично от нуля.
Вектор нормали в актуальной конфигурации N по (1.8.8) представляется
формулой
N = (n-G-1-!!)-1/2 Vr-n - (1 - 2snyti" + n2s2)-1/2 (n - i2HjS), (10)
f" = f + 2s2-^, *"-=/, t33 = t ф2-щ s2,
K2=p(s2)s, t*" = tn = 0.
(7)
(8)
так как
G"1 = VrT • Vr = E - (i1i2 + ijij) s + KKs2, n-G_1-n= 1 - 2s"1n2-f nfs2.
I
§4] ПРОСТОП СДВИГ 201
Вычисляемое по (2.2.6) нормальное напряжение на любой площадке
оказывается равным
aN = N -Т- N =
= / -I- 2(1-2зд + n\s2) -1 (2,hn2s^-ri& + nb9 -jjQ • (П)
В частности, на гранях п - + Ч (иначе говоря, АВ', DC')
"'¦-4te+(2+s>)S;+(1 + s4] (12>
и, конечно, при n = i2, n -i3 нормальные напряжения равны t22, t33.
Вектор касательного напряжения tn определяется по (2.2.7)
tn = N-T - N<tn = 2(1 - 2sh1h2 + s2"?)-3/2 j(l - 2sh1m24-
+ *4)
(n1i2 + n2i1)s^i +
- [/iiii + (n2 -MU + ^si*] (2niw2S-?-"i2s2-?+"32s2^)} . (13)
kssss
Конечно, обнаруживается отсутствие касательных напряжений на площадках n
= i3. При n = ix, n^=i2 получаем
4=(1+s2)-3/2(i2 + iiS)sp(s2), |Tll| = -^r, (И)
Tj2 = ixS[A (s2).
Одному из главных направлений е3 = i3 тензора Т соответствует главное
напряжение t33 = o3; два других направления получаем, приравняв нулю
правую часть (13) (при п3 = 0, Tn • ix = 0, tn • i2 = = 0). Приходим к
двум уравнениям
И;..;: rt2 + "iK + "2s) 4s - 2д2) = 0, l+n.2(n1s - 2n2) = 0, (15)
в которых п1, п% - проекции на оси i1; i2 одного из главных направлений
ех или е2 тензора напряжений Т
ех: "^cosa, n2 = sina; е2: пг = - sina, л2^= cosa.
По второму уравнению (15) находим
202
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
причем, конечно, удовлетворено и первое. Можно принять л/4 < < а < я/2
при е = 1 и Зя/4 < а < я при е = - 1. Получаем .
s2 + 4 -s \'/г 2 / '
ei = sina = (_S2 + iy/,| (16)
1 \ 2 s- о- 4 /
1 2 8 = -1, n = e2: е2 = - sin a, е2 - cos а.
Главные напряжения ах, а2 находим подстановкой этих выражений в (11).
§ 5. Чистый сдвиг
Предыдущая << 1 .. 521 522 523 524 525 526 < 527 > 528 529 530 531 532 533 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed