Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
сдвиге.
§ 2. Одноосное растяжение стержня
Ось растягиваемого призматического стержня совмещается с осью ОХ; тогда
ст2-а3 = 0. Главные значения меры Фингера обозначаются у2, а2о2, а2и2; ее
инвариантны равны
/х = (1 +2a2)i>2, /2 = (2 4-a2)a2i>\ 73=a4A (1)
По (1.2) имеем
(2)
ay = 2v
дэ
1 дэ 9дэ а 2 дэ vW dh ^ d/2 + д!з
и2 dh
+ (l-ba2)
дэ
Ж
-02a2
дэ
d/а
: 2уф (а2, у2) = 0. (3)
В отсчетной натуральной конфигурации F = E, w = l, a2= 1; в ее
окрестности
ф(а2, и2) = [(сс2- О S + (°2- 1) S
F = E
(4)
По (3), сославшись на (4.7.12), (4.7.13), имеем
дг|)' да? 1т=е '
дэ
д/2
дэ
д!я
+ 2
Л2а Я2 а
?± + U4(1+a.)*^ + l,.aS^ +
д11 dh dh
+ 2у2 (1 + a2) ^ + 2a2(1 + a2) ys ^ + 2 wa-
ds
1 2
дэ
Ж -f 2
Ac oA
d/j 1 d/2
t>= 1
a= 1
dl-i
4(p + A) (5)
и аналогичное вычисление дает
§ЗА"А+ЗД- (*)
По (4) получаем теперь
ф (а2, и2) = 1 [ (ЗХ + 2ц) А - 1) + 2 (X + ц) (а2 - 1)] + . . . (7)
В линейном приближении, обозначив б,, 62 продольное и поперечное
относительные удлинения, имеем
v2 = 1 +261; aV-l+262
и по (7)
(ЗЯ,+2ц) бх -ф2 (Я-ф ц) (б2 - б,,) 4- . . . - 0, ~ ~ пж 7 .,; = v (8)
этим определяется коэффициент Пуассона в линейной теории.
196
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Г,
Поскольку можно, сославшись на теорему о не-
явных функциях, утверждать, что по крайней мере в окрестности
натурального состояния уравнение (3) однозначно разрешимо относительно
а2; подстановка этого значения a2 (у2) в (2) приводит к выражению щ (у)-
диаграмме растяжения образца.
Применение критерия монотонности (5.10.13) приводит к более общему
заключению. Полагая у2 = у3=у, имеем
дэ (гд, у2, Уз)
9V3 JV2 = V а = В
Это уравнение разрешимо относительно у при условии
d_t2
dv
d2s(vu v2, v3) д2э(и1, v2, v3)
dv2
dv3 dv2
Ф0.
= 0. (9)
(10)
По теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицы (5.10.13) имеем
Л!?Л = >0,
dv2 Jv2-v3 = v \ dl'3 J v2 = v3 = v
д2э д2э dv\ dv\
дЪ
dv2dv3
V 2 = V'l - V
д2э ^ 2 dv\
д2э
dv2dv3
>0.
Из этих неравенств имеем
а 2 ^ OV 2
д2э
dv"dv3
>0,
откуда следует, что при любом знаке смешанной производной
' д2э , д2э
dvi
dv2 ди;.
> о
и по (10) уравнение (9) имеет решение v = vt, что и требуется.
§ 3. Одноосное растяжение в материале Синьорини,
Блейтца и Ко, полулинейном материале
1. Выражение тензора напряжений (5.9.2) после замены Я через р и v по
(2.8) при с = 0 (упрощенный материал Синьорини) приводится к виду
1 ~V'*' 4 ji) E + (l- 2v - j[) A. (1)
2p " у < 4
Здесь А -тензор деформации Альманзи, Ц= 11 (А). По (1.7.8) A=4(E-F-B. А"
= 4п-уг2). -оо<Л.<4-, (2)
2 '
§3] ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ В МАТЕРИАЛАХ 197
причем As~ 0 в натуральном состоянии, а границам интервала (- оо, 1/2)
соответствуют бесконечное сжатие и бесконечное растяжение стержня.
В одноосном напряженном состоянии Л2^Л3, /(=-Л1 + 2Л2
Oi = А, (1 - V) - 4 А! - Лх Л2 + 2v Л2 + А\, (3)
СТ2=^Л1 + Л2-)- Л2 - Л1 = 0. (4)
Корень квадратного уравнения (4), меньший 1/2, определяется формулой
Л2=|( 1 _ Д1/^), А = Л2 + 4v + 1
и Д для допустимых в теории Синьорини значений v (5.2.16) неотрицательно.
Главная сила
h = (1 -2 А2)~1о1 = Л-1/2 ог
по (3) представляется выражением
*1=цг*;1А- l-2v + A1/2 (1+2т + Л1-Л|)]. (5)
Соответствующая бесконечному удлинению А1 - 1/2 разрывающая образец сила
Q = tyS0 оказывается конечной (S0 - площадь сечения в натуральном
состоянии) и равной
"-гтёч<>/5+(r)-1-4'0
и при всех допустимых v:
- |-<v<y, уц5" < Q <|-pS0. (6)
Сжимающее усилие, доводящее длину стержня до нуля (Лг->- оо), бесконечно.
2. Для материала Блейтца и Ко при одноосном растяжении (а2 = а3 = 0)
по (5.6.5)
]A/3 = v1v! = v22, vi=Vii,]/l3 = Vv1, ^-=1 - уг5/2, (7)
Г
оу - монотонно возрастающая функция, отрицательная при сжатии (0 < ух <
1) и положительная при растяжении (ух > 1). Иначе ведет себя главная сила
tx
-t1= ?2л = уг1/2 - УГ3, 1А = _ 1 vrw (1 - 6уГ5/2 ), (8)
р 1 щ р От! 2 v i \ /
Монотонно растущая от - оо до 0 при сжатиях, а при растяжениях имеющая
весьма пологий максимум t?"0,58р при
198 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
vt = гф"2,1. Любому значению t1 = tl<t? соответствуют два у, > 1: одно у,
< у?, другое у" > у?. Этим иллюстрируется действенность критериев
монотонности (5.10.13) не во всей области значений а, а в окрестности (в
этом случае, однако, достаточно далекой) натуральной конфигурации.
3. Для полулинейного материала при одноосном растяжении по (5.5.5)
а1 = 7[(^ + 2р)б1 + 2б2], а2 == + 2 (Х-|- р) 62] = 0 ^
(б, = vs- 1) и как следовало ожидать
- А. (Ю)
так что
^ = = h = E6lt ? = Д+Д, (И)
vt Л+Р V 2 Л+Р
как в линейной теории. При одноосном растяжении призматического стержня
направления главных осей меры деформации сохраняются, поэтому
0х = Е, VR = VRT = V, Vr = VrT = V-1,
¦yf ~ VrT T = ajV"1 • = ip,/,;
S
как можно было предвидеть, - (11)-компонента тензора Пиола. По (5.5.1)
имеем
э = Д (6t + 2б2)2 + р (б? + 2б2) ^ б* [ 1 К (1 - 2vy2 + р (1 + 2v2)' =
_L К2р _ J_ Д_
2 1 2 Е •
Далее по (5.5.11), (5.5.13) находим Эх=э+\/,((Р. )=| + 1" VR^
