Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
S = ST, a-S-a > 0 (6)
для любого вектора а^=0.
К (6) далее добавляется условие, что сопровождающий деформацию
ортогональный тензор тот же в актуальном и сравниваемом с ним состоянии.
Тогда
VRx = U* •() = О-Vх, Vrx = VX_10T, VrxT = О-Vх-1,
рх = у -Х О-Vx~'-Tx У 8
и критерий (4) записывается в виде
0.( YVх"-тх- |/^V_1-T j - -(Vх -V)-0T =
= ( ]/-|Х Vх-.Тх- ]/|v-1.t)..(Vx-V)>0.
Входящие в это неравенство тензоры соосны: Vх и V по условию, Т и V,
поскольку среда изотропна. Вспомнив определение главных сил (4.3.12),
имеем
eteA
S ft* 1 к *=1
180
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
и предшествующее неравенство приводится к виду
t?i ^ ^ ~ ^ № - ^ + № ~~^ ~ v*> +
~h Уз 4) (Ра уз) ^ 0, (7)
включающему рассматриваемые ниже критерии (§ 13), подтверждающие
привычные представления об изотропном упругом материале. Не следует
думать, что описание поведения материала с помощью критерия Колемана -
Нолла исчерпывается неравенством (7), так как при выводе этого
неравенства использовалось предположение о совпадении главных осей
актуальной и сравниваемой с ней деформации.
Из неравенства (7) следует, что если vk = vk хотя бы для одного k, то
хотя бы для одного п. Иначе говоря, раз-
ным vk соответствуют разные tk: vh(t1, t2, t3) - однозначные функции;
уравнения (5.3.13), определяющие tk{v^, v2, v3), однозначно обратимы при
выполнении критерия Колемана - Нолла.
В дифференциальной записи неравенства (7) учитываются лишь первые степени
разностей vf - vs - Avs. Тогда
з зз
При переходе от строгого неравенства (>) к его дифференциальной форме
следует иметь в виду, что приращение tf- ts, вычисленное с точностью до
линейных относительно Avk слагаемых может оказаться равным нулю. Поэтому
в (8) знак ">" заменен на "^".
Рассматривается также усиленный критерии монотонности, исключающий в (8)
знак равенства, - тогда матрица
I dtj_ 1
I dvk I
положительна; ее детерминант -сильвестров
з з
Z 2 -ёг Ау*> 0 (9)
s = 1 ft = 1
или, сославшись на (4.3.16),
S =1 fc=l 5 й
- симметричный тензор VVa положителен (положительны его собственные
значения).
§ ю] КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ Jgl
3. В линейно упругом теле напряженное состояние сравнивается с
натуральным (когда оно отсутствует)
VR = Е, p(vr) = P(E) = 0, VRx = E + e=ES, S = E + e,
причем е -линейный тензор деформации, S = ST при малом е -положительный
тензор. Тензор Пиола в линейной теории неотличим от тензора напряжений Т.
Неравенство (4) по (4.7.2) приводится к виду
Р (Е + е) • • е = Т (Е + в) • • е = е • • Та • • е =
= е • • [ЯЕЕ -f- р (С]]* + Cjл)] • • е -= XII (в) -f- 2р/1 (е2) =
= (Я + 2р) (е2 + ег + ез) +2Я (е]б2 -Ке2ез + e3ei) ^ 0 (11)
и выражает положительность (удвоенной) удельной потенциальной энергии э
линейно упругого тела. Определитель матрицы коэффициентов этой
квадратичной формы и его диагональные миноры равны
4р2 (ЗА + 2р), А + 2р, 4р(Я + р) и условия теоремы Сильвестра
удовлетворяются неравенствами р > 0, А, + р > 0, Я + 2р>0, ЗЯ + 2р>0.
Второе и третье неравенства - следствия первого и четвертого,
так как 3^ + 2р + р -= 3 (А + р), ЗА + 2р + 4р = 3 (А + 2р). Два
неравенства
р>0, ЗХ + 2р>0 (12)
- не только достаточные, но и необходимые условия выполне-
ния критерия (4) в линейно упругом теле. Конечно, критерий (10) приводит
к этим же условиям.
§ 10. Критерий роста мощности
При более общем, чем в § 9, задании сравниваемой с актуальной
конфигурации следует ожидать обнаружения свойств материала, не
содержащихся в критерии (9.7).
Примем
S = E+tD, D = Dr, Vrx = VR + tVR-D,
VRxt_vrt = tD-VRt. (1)
Здесь т - параметр настолько малый, что S остается положительным
тензором. Критерию (9.4) придается вид
О Г/0 0 \ "/ 0 \Л "ЧТ"
T[f М-/(0)] = td-vrt..Lp(vr+tVr-dJ-p(4vrJJ >0. (2)
182 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Величина
f(0) = D-VR*.-P(VR)^ l/ - D¦ VRT• • VrT• T = l/^-D--T (3)
' § 'о
пропорциональна мощности напряжений в актуальной конфигурации, /(т) - в
сравниваемой с ней. В линейном по т приближении
p(vR+tVR-d) = p(vr)+tp(vr)0 •• D VRT. (4)
VR
Неравенство (2) после деления на т2 и перехода к пределу т->-0 принимает
вид квадратичной формы шести переменных
Dmn ~ Dпт
/' (0) = D• VRT• • Р0 • D VRT>0. (5)
VR
Заменив здесь Р0 его представлением (4.9.11) и выразив в нем Р VR
через Т, получим
]/-§-/' (0) = D • • (ТЕ + R Д Rs) • • D +
+ D • • [тР • • (Rtrs + rsR*) (г'г* ¦ • D • VRT )].
После преобразования
(Rtrs~hrsRt) r*rs- D- VRT =
= (Rtrs + rsRt) gtmRmrs ¦ ¦ D = (F • R-ERW + r.Fr*) • ¦ D
неравенство (5) оказывается возможным записать в виде
0) = D--В--D>0, (6)
причем тензор четвертого ранга В оказывается равным
B = TE + R/TR* + Tf ¦ (F-R'-'ER. + ^Fr*). (7)
Имеем
D- • ТЕ¦ ¦ D = /j (D'T) /j (D),
D • • RДR* • D = DmsDs<tRmR9- • T = Д (D2 • T).
Далее, TF заменяется компонентным представлением, так что
D- -T^R^R^R*- ¦(F-R'"ERm + r,Fr*)- D =
= Dpqx"P°t (DsmF • • RtR" + DtmF • • R,R") =
= 2Dp9DaatxP**F--RtR*
L
§ 10.1 КРИТЕРИЙ РОСТА мощности 183
