Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
2л \ 1 . . . V 3 ,
sin ( ф -)-у ) = 2 simp 4 - cos ф.
Формулами (6) определяется ф. Другое определение следует из (1.13.5),
(1.13.9)
& = - (т) '* sin3ip=4/,(devH). (7)
В применении к dev Т записи формул в I, § 13 приводятся к виду __
____________________
= Ysin г' °2 V"Т sin (х + 1Г) '
Оз= У-Ts[n (7 -Ьх) ' U|<J, (8)
G2 = - 4/2 (dev Т) - у [{о1 - о2)2 + (а, - а3)2 + (а3 - ах)2], (9)
ст1 = у (2ах - а2 - а3), а2 = у (2сг2 -Од -с^),
а3 = у (2а3-cTj-а2), (10)
а аналогом формул (6) и (7) являются соотношения
sinx = y==-(2a1 -аа - or,), cosx = -^=- (a2-a3), (11)
G3 = - ('У')3/г s^n 8x = 4/3 (dev T). (12)
По (6) и (11) имеем теперь
V g2G2coscD = (a2 - О'з) ln-y + y (20-!-ст2-ст3)1п-Г, (13)
^3 J У2и3
К3gaG, sin со = (2ax - a2 - or,) In ^ - (a2 - ct3) In . 1 (14)
Здесь
<в = Х - Ф
176
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. П
- введенная соотношением (II.9.6) фаза подобия девиаторов тензора
напряжений Коши и меры деформации Генки.
Возвращаясь к соотношениям (4.3.16), (4.3.12), имеем теперь
бэ = X еЛ(Н) X ак 4 =
к= 1 /. - 1 к
= емн) о-А.б1пу/г -e'i <н> ^
/г=1
/г=1
а после выделения шаровых и девиаторных слагаемых тензоров Т и Н
з
'бА'н46/1 (Н)]
о
8э = еМН)? [аИ4/1(Т)
1 L
*=1
3
= д. (Н) 2 сДб/4 + {е7* <н> /, (Т) б/, (Н), *=1
так как
|ст[ = о, ?8/4 = 0.
/е=1 Ar= 1
ГТо (3) и аналогичному представлению о'к имеем fa
'E*a'k8h'k = -
k=\
з
sin % cos Ф + sin 4 +4) cos (Д + ir) +
+ sin (% +4) cos (Ч+Т '
бф +
sin%sinT +
+ sin(x+4)sin f^ + ^г) +sin (x + 4) sin (4 + 4
bf 8г
и после очевидных упрощений з
? o-[6/i[ = T(l/g-2sinco6\[)+ cos об Kg's)
(15)
Вариации удельной потенциальной энергии, рассматриваемой здесь как
функция задающих меру Генки величин, теперь придается вид
8э = б'ИмН), ф, 1/^) = еМн> [1/1(Т)б/1(Н) +
+ !К02(К&зто>бф + со8а>бК&) . (16)
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНЛ - НОЛЛА 177
Приходим к соотношению связи инвариантных величин, определяющих тензоры Т
и Н
г = | /, (Т) <">, -gp = j W sin со,
e/i<H>coso). (17)
д!л (Н) 3м' ' Эф 2
дэ
д f g2 2
По (II.9.4) и (II.9.12) определяющему уравнению devT него обращению
придается вид
devT
^ dev Н
"ft [(dev Н)2 - 'g'Eg'2 sin со j , (18)
dev H - - * n- 1 cos (- со -f 3%) dev T +
+ 2]/|[(devT)2-|EG2]sinco} . (19)
cos 3%
Они тождественно удовлетворяются вышеприведенными соотношениями.
§ 9. Критерий монотонности напряженного состояния
Колемана - Нолла
Непрерывная функция f (х) называется монотонно возрастающей, если для
любых двух значений х, х0 переменной х в области ее определения
[/(х) - f(x0)](x - х0) > 0, хфх0. (1)
Это определение обобщается на тензорные функции тензорного аргумента: Q
(А) - монотонно возрастающая функция А, если условие
[Q (Ах) - Q (А)] - • (Ахт-Ат) > 0 (2)
выполнено для всех тензоров Ах вида
Ах = A-S, S=^E. (3)
Было предложено считать монотонность тензора Пиола Р (vr) критерием
пригодности задания определяющего уравнения
[р ( VRX) -p(vr)] - • ( VRxr- VRT) >0
4VRX = VR-S, S^=e). (4)
178 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА {ГЛ. 5
1. Покажем, однако, что при S ^0, О -ортогональный тензор, принцип
материальной индифферентности (гл. 3, § 2) ограничивает применимость
критерия (4) узким классом напряженных состояний. Действительно, согласно
этому принципу при ортогональном преобразовании по (3.2.3) и (2.7.2)
Рх = РО, Рх - Р= У J-Vrr-Т-(О-Е).
Критерий (4) представляется теперь неравенством VrT-T • (О - Е) ¦ • (0х-
Е) • VRr - Т • • (2Е - О - 0Т) =
л (Т)-iT--(0+0T)
>0
и по (1.11.10)
(0 + 0 г) = Е cos со-|- (1 - cos со) ее,
Д (Т) - Т • • (О -f Ог) = (1 - cos со) (/, (Т) - Т • ¦ ее).
Заменив здесь Т его представлением через главные напряжения и обозначив
через углы оси поворота е с главными направлениями Т, приходим к
неравенству
ста + <т2"2 + <т3аз >0, as = - sin2 ys (5)
для всех
а1 + а2 + а3=1.
Это неравенство выполняется конечно при
mincTs>0 или <у1 > 0, ст2 > 0, о3 > 0.
S
Пусть далее
mincr^ = сг3 < 0, - сг3 > 0, а2 -а3>0.
S
Тогда (5) после исключения аа приводится к виду (ст* - as) ccj + (a2 -
a3) a2 - | a31 > 0, f (au a2) =
-ai"03cc1 + ^^a2-l >0.
la3l ¦ |"3.
На плоскости alt a2 прямая a2) = 0 отсекает наосихс^, a2 отрезки
ао = _[ДИ_
CTl-CT3' ^ 02- с
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНА - НОЛЛА 179
и область / (аи а2) > 0 расположена выше этой прямой, но обязательно в
треугольнике
О 0,5, 0^а2^0,5,
ограниченном положительными осями аг, a2 и прямой aj + a2 = 0,5. Поэтому
J-^TT < 0-5, К 1 < °,5стл + 0,5 |ст3 |, 0ft + 03>O (6=1,2).
Здесь показано, что определяемый неравенством (4) критерий применим лишь
для таких материалов, напряженное состояние в которых характеризуется
положительностью суммы любых двух главных напряжений
o'i + ct2>0, о2+а3>0, Og+a^O
о
независимо от характера деформации VR.
2. Это заставляет ограничить класс допускаемых неравенством (4)
тензоров: в предложенном Колеманом и Ноллом критерии предлагается
выбирать в качестве тензора S только чистую деформацию, иначе говоря,
требуется, чтобы S был симметричным положительным тензором
