Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 513

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 507 508 509 510 511 512 < 513 > 514 515 516 517 518 519 .. 742 >> Следующая

Вычисление вариации 61К4 в значительной части повторяет (3). Получаем
на о4: nP = f°; на о2: R ^Rx.
(5)
W*== Ш [э (С) - Pr- • (с - VRT) - p0k-r] dv -
V
(6)
0
0
бГ*=Ш [(fe-p)--6CT-(v.P + p0k)-6R
V
(с -vr). -6P dv+(n-P-f°).6Rdo-
n-6P-(R-Rx)do = 0.
(7)
sigl ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА - остроградского 147
Уравнения Эйлера и краевые условия в силу независимости
вариаций 6Р, 8С, 6R приводятся к виду
л, оо
Р = §' C = Vp- VP + Pok = 0, (8)
на ог: n-P = f°; на о2: R = RX- (9)
В записи (8) представлены как уравнения статики, так и определяющее
уравнение.
§ 19. Принцип Гамильтона - Остроградского
Действием по Гамильтону называется функционал над вектором места R(g\ q2,
q3\ i) при движении системы
<SP = \(M-W)dt. (1)
Здесь 9^ -кинетическая энергия
V v
W - потенциальная энергия системы, определяемая по (16.8)
W = S (э - р0к• R)dv - ^ f°• Rdo =
V Ox
V о,
Осуществляемое движение R (q1, q2, q3\ t) подлежит сравнению с движением
R-J-8R, в котором 6R -виртуальное перемещение, сообщаемое мысленно
частице из ее мгновенного положения в бесконечно близкое (синхронное
варьирование), 6R - непрерывная и дифференцируемая функция материальных
координат и времени. Операции варьирования и дифференцирования по времени
принимаются переставимыми
(SR)=6R. (4)
На концах промежутка времени [t0, вариации 6R принимаются равными нулю -
сравниваемые движения совпадают в начальный и конечный моменты этого
промежутка
6R (q1, q2, q3\ tu) = 0, 6R (q1, q2, q3\ tj = 0 (5)
Для каждой частицы среды.
Свойство движения, заключенное в вариационном принципе амильтона -
Остроградского, формулируется так: от всех
148 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ tlvi. 4
мыслимых (допускаемых связями) движений в промежутке времени [t0, f],
совпадающих в начале и конце этого промежутка, осу. ществляющееся
движение отличается тем, что для него действие af стационарно, его
вариация равна нулю
bof = 0. (6)
Надо доказать, что в этом требовании заключаются уравнения движения,
приведенные в § 10, включающие не только уравнения (гл. 2, § 6), но и
уравнения состояния среды.
Используя свойство вариации (4) и (5), имеем и t, /,
бЭ^ = ~ p0dv J 8v-vdt\ -i- J 6v-vdt ¦= J (6R) • vdt =
V t о f(y
h tx и tx
-¦ J (6R)'- vdt- 6R-y | - J v- 6R dt = - j* b- SRdt,
to
так что
ц о
б '\^Xdt = - p0b-6Rcfo. (7)
to to v
Вычисление вариации функционала W сводится к преобразованиям, проведенным
уже в § 16.
Поскольку на о1 задана сила f°, а на о2 - вектор места R, получаем
-№ = jjf (v.P + p0k)-6Rdn + jj (f° -n-P)-6Rcfo, (8)
V Ot
причем в ходе вывода использовалось уравнение состояния
Р = (э)о • (9)
VR
Условию (6) теперь придается вид
t\ г / 0 \
бSP = ^dt J'jf (- p0b + VP + pok)-6Rdi> + ff (f0 - n• P)• 6Rdo
to L " 0,
= 0 (10)
и хорошо 'известное рассуждение приводит к ожидаемым уравнениям движения
и краевым условиям о
в v: VP-j-p0k = р0Ь; на ох: n-P = f°, (Ш
причем, подчеркиваем, тензор Пиола Р определен здесь по (9).
Выполнение кинематического краевого условия на о2 предусмотрено в самом
задании функционала of, входящий в него
ПРИНЦИП ГЛМИЛЬТОНЛ - ОСТРОГРЛДСКОГО 149
вектор R должен удовлетворять этому условию. Это предусмот-оено в
словесной формулировке принципа (говорится о допускаемых связями
движениях).
Обратив ход вывода, несложно от уравнений (11) прийти к принципу
стационарности действия. Формальное преобразование позволяет представить
уравнения (11) в форме
в V: V.T + pk = pb; на О,: N-T = f°^ = f. (12)
Известно, что разность 3*C - W называется лагранжианом системы , так что
t\
$ = (13)
t о
и запись (10) можно представить в виде
t\
^ Ы? dt = \ dt ^ $ (- pb -f V • Т + pk) dV -f
U U т
-fJJ (f-N-T)-'6RdO = 0. (14)
o2
Замечание. В записи потенциальной энергии W предполагалось, что
поверхностные силы "мертвые", значит потенциальные. Можно отказаться от
этого предположения, задав выражение их элементарной работы в виде
6M(e)=$$f.6Rdo (15)
о,
отдельно и исключив соответствующее слагаемое из представления (3).
Определив ба^х, как и ранее 8S7 по (10), но с так измененным W, получим
О г 0 \
№x = ^dt {- p0b f VP p0k) • 6Rcfa - $ ^ n-P- SR do ,
/" L V ot
так что
о
6^х + $6М(в)сИ = 0.
to
Можно назвать это соотношение принципом Гамильтона -Остро-^Радского, но
без эпитета вариационный, так как здесь нет Функционала, стационарность
которого рассматривается.
Г л а в а 5
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
§ 1. О выборе уравнения состояния изотропного упругого тела
Квадратичный закон состояния (4.3.4) упругого, изотропного, однородного
материала конкретизируется априорным заданием явного выражения удельной
потенциальной энергии деформации э, как функции инвариантов меры
деформации, либо представлением через них самих коэффициентов фг (h, h)
этого закона, совместимым с существованием э (для гиперупругого тела).
Рассмотрение простейших деформаций (всестороннее сжатие, растяжение,
кручение), допускающих сравнение с опытом, дает основание для суждения о
Предыдущая << 1 .. 507 508 509 510 511 512 < 513 > 514 515 516 517 518 519 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed