Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний малы 2); б - вырожденный случай; ширина резонанса порядка
единицы*
а частота порядка е.
Каноническая теория возмущений
129
Вблизи центра резонанса фазовые траектории являются эллипсами с
отношением полуосей
Для полного решения задачи следовало бы выполнить преобразование к
переменным действие - угол медленных колебаний (или вращения). Однако
такое преобразование необходимо по существу лишь при учете вторичных
резонансов и мы отложим его до п. 2.46.
Вырождение. Действуя, как и в предыдущем случае, но учитывая
независимость гамильтониана Я0 от J1 [см. (2.4.23)], вместо (2.4.24)
получаем оценки
из которых следует, что отклонение по J г и 0Х одного порядка, поэтому
нельзя разлагать гамильтониан (2.4.16) только по Jъ как это было сделано
выше. В общем случае для анализа движения системы (2.4.16) можно перейти
к новым переменным действие- угол (см. п. 1.3а). Выясним сначала общий
характер движения, разлагая гамильтониан (2.4.16) в окрестности центра
резонанса = 0 по степеням AJх и А0Х = 0Х до квадратичных членов.
ные, мы приходим к гамильтониану гармонического осциллятора
(2.4.32)
0i~ е#0,о - ?-Hri _s,
(2.4.33)
Имеем
Я0.о^) = Я0.0(/0) + -^(а71)4
1АЛ)2 +
д J
(2.4.34)
Hr.-s Й = (•/") 4
(А/j) 4-
d*Hr,_s 2 дУ?
(2.4.35)
(2.4.36)
Линейные по AJг члены выпадают в силу (2.4.20); опуская постоян-
(2.4.37)
где
дЛ djf dJ\
F=-2eHr,_s.
(2.4.38)
(2.4.39)
130
Глава 2
Но при вырождении первый член в (2.4.38) равен нулю, поэтому как G, так и
F оказываются величинами порядка г. Частота малых колебаний вблизи центра
резонанса равна
и, = (GE)12~e, (2.4.40)
а отношение полуосей эллипса -
_AlL=('JLV2~ 1. (2.4.41)
А 01 V G /
Вблизи центра резонанса вырождение определяется соотношением
(2.4.38) и происходит при уменьшении первого слагаемого до нуля.
Аналогичным образом вблизи неустойчивой неподвижной точки 01 = ± я
получаются гиперболические фазовые траектории с асимптотами, наклоненными
к оси 0J под углами ± %> где
tgX = (^-)'2- (2.4.42)
Поведение вырожденной системы иллюстрируется на рис. 2.8, б. Грубо
говоря, оно похоже на невырожденное, если только G Ф 0. Различия между
ними, существенные для отображений и теории
КАМ, обсуждаются в п. 3.2а; там же кратко рассмотрен особый слу-
чай G = 0. Вообще говоря, характерная для вырождения слабая нелинейность
приводит к сложному поведению системы, тогда как невырожденный случай
оказывается обычно более простым для анализа.
* 2.46. Вторичные резонансы
Если возмущение е не очень мало, то существенную роль играют вторичные
резонансы [см. (2.4.9) ], которые изменяют или разрушают адиабатический
инвариант J 2. Это резонансы между гармо" никами фазовых колебаний на
первичном резонансе (п. 2.4а) и невозмущенными колебаниями основной
частоты со2- В адиабатическом пределе их структура показана на рис. 2.9,
а. Устранение малых знаменателей вторичных резонансов можно провести по
общей схеме п. 2.4а, хотя здесь имеются, как будет видно ниже, некоторые
дополнительные особенности. Начнем с усредненного гамильтониана (2.4.10),
в который необходимо ввести новые переменные действие - угол (/lt срЯ для
фазовых колебаний. Вместо решения уравнения Гамильтона-Якоби (1.2.50)
исследуем, как и в п. 2.2а, движение в окрестности центра резонанса с
помощью теории возмущений. Обозначим через /Со преобразованный гамиль
тониан и, следуя логике принятых обозначений, будем писать /2
Каноническая теория возмущений
131
вместо Jo. В приближении (2.4.16) из (2.2.23) сразу же получаем *o(/i,/2)
= &0(/.o,/2) + 5i/i--^-G/?+ • • • . (2-4.43)
ду~
Рис. 2.9. Фазовые траекторий вблизи вторичного резонанса.
а - вторичный резонанс ocot = со2"в~переменных У,, 0,; б - преобразование
к переменным действие - угол I х, ф1 невозмущенных фазовых колебаний на
первичном резонансе; в- преобразование к резонансным переменным
вторичного резонанса.
132
Глава 2
где G и (Oj - функции /2, определяемые выражениями (2.4.38) и (2.4.40).
Если усреднение по 02 справедливо, то разложение
(2.4.43) является формальным решением задачи. Оно не зависит от угловых
переменных, и, следовательно, существуют два интеграла движения: /2 = /2
и Л- Преобразование к переменным 1и Фх показано на рис. 2.9, б.
Чтобы учесть эффект вторичного резонанса, восстановим член Н!,
отброшенный при усреднении по 02:
Н\ (7,0) = Н\ (7,0) - Нх (7,0). (24.44)
Представим его в виде ряда Фурье
Hx = ^Hi,mg)exp i ±-Qx + i(l~- + 02 j , (2.4.45)
l.m
где штрих означает, что член с Is + тг = 0 из суммы исключен. В
окрестности центра резонанса (01о = 0)
Я1=2 ю+ а7ь72) ехр i~ A0i + i-у + mj
l.m
(2.4.46)
Преобразуя это возмущение к переменным действие - угол низшего порядка,
т. е. для линейных колебаний переменных AJlf aDj [см. (1.2.68)], и
обозначая 02 через ср2, находим
/Сх = 2 н'-т[710Л)ехр у+т^ф2|ехр|^г-7-^-^3-y/2sin
l.m
(2.4.47)
где R = (Е/G)12. Мы рассматриваем невырожденный случай и потому
пренебрегаем отклонениями A Jи считая их малыми в силу-
