Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
T" = 2}/f [ф0О-1 + ф1Е + ф2О] = 2 [ф0Е + ф1О + ф2Оа].
(20)
В отсчетной конфигурации тензор напряжений - шаровой
T_2?rt. + * + ""-,2E(^-+2|l- + -t)" = -PE, (21)
дэ , 0 дэ . дэ \ о
р~~2[Л7+2 Ж + ш) (22)
- нуликом указано, что после дифференцирования инвариантам придаются
значения /j ^/2 = 3, /"==!,
§4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ Щ
Отметим еще, что по (11) и (16)
<23>
так что
'= л/ -------- - е~!^Н)- (24)
V G d In У дН ' К '
где Н - логарифмическая мера деформации (1.6.10) (мера Генки).
По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола - Кирхгоффа имеем
также
дэ дэ дэ
^7t
тх = 2 -- - -- t-i-t --?L- (951
1 <3G дС ' dCV ' 1'
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации
Рассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные
преобразованием подобия
f (q1, q\ q3) ~ от (q1, q\ q3), rs = ars. (1)
Элементарные объемы в о и v конфигурациях равны
dv = rx- (г2хг3)dq1 dq2dq3,
dv = гх-(r2xr^)dq1 dq2dq3, dv--=a3dv. (2)
Поэтому
fi = =1 Г2ХГ3 a_lrl p2z_a_lr2 r3 = a^r3. /34
rr(r2Xr2) a гг(г2Хгз)
Вектор места- в актуальной конфигурации R, конечно, один и тот же.
Поэтому
VR = riRi = a-1VR, G =a_2G, F=a-2F (4)
и связи между инвариантами определяются формулами
7l(F)-a-2/1(F), 7, (F) - a~iI2 (F), 73 (F) - а~Ч3 (F). (5)
Потенциальная энергия деформации в актуальной конфигурации одна и та же в
преобразованиях v-v-
72> h)dv^ SSS h)dv =
J SS 3 (a~2/j, a-4/2, a-e/3) a3 dv
и, поскольку объем и -произвольный,
9(/lt /2, /3)-=а3э(a-2/i, а_4/2, а~6/3). (6)
1
112 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
!
Поэтому
дэ , дэ дэ дэ , дэ дэ , дэ
-аТ- - а эГ СС -, --j- =- а-1 -, -д-Г--= а- -т^-
d/i a/j dl2 dh dl3
и no (3.5)
Фо -¦= "3Фо> ФТ ^ "Ф1, Ф2 -=• а_1% • (7)
Теперь уравнение состояния (3.4) в отсчетной и-конфигура-
ции, записываемое в виде
Т - 2/^1/2 (ф0Е -HqF + ^2F2), преобразуется к виду
Т = 2а (а~3ф0Е + -(-аф2а-4Р2)
и как следовало ожидать
f = 2/3-1/2 (ф.Е + 1P1F + Ф2Р2) = Т. (8)
Тензор напряжений в актуальной конфигурации независим от выбора отсчетной
неискаженной конфигурации.
§ 5. Варьирование напряженного состояния
Предполагается, что на актуальную конфигурацию среды наложено поле
виртуальных перемещений qw (q1, q2, q3), q - малый параметр. Тензор
напряжений Коши, если ограничиться линейными по q слагаемыми, станет
равным
Тх = Т + qT, t = lim -(Тх-Т). (1)
11-"0 1
По определению в гл. 1, § 10 тензор Т представляет конвективную
производную Т, не отличающуюся от его материальной производной, поскольку
Т явно не зависит от времени (q отождествляется с Ы).
Основываясь на представлении (3.4) и формулах в гл. 1,
§ 10 имеем
f ~ TV • w + 2 [TyF -ффг (F • F ф- F • F) -f- (Еф0 -f Fi|q -f Faip2)]
(2)
§ 5] ВАРЬИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗ
и по (1.10.11)
2 |/ f [%F + ^(F-F + F.F)]=2 ]/ -§- [фх (F • Vw + VwT • F) +
+ ф2Р • (F • Vw + VwT- F) + o|)2 (F • Vw -f YwT- F) -F] =--=
•¦= 2 [(4\F + Tp2F2) - Vw + VwT-(ipiF -f i|)2F2) +
+ Tf2F -(Vw-f- VwT)-F],
Это выражение по (3.4), если ввести в рассмотрение линейный тензор
деформации e(w), приводится к виду
T-Vw + VwT-T -4 |/ [ф0е (w) - Tp2F е (w) -F], (3)
Переходим к вычислению фг (Г -0, 1, 2). По (II.3.3) и (1.10.15)-(1.10.17)
получаем
~ <5/, 7l + д!г 2+ dl3 1з -
d/х п д/2
(/xF-F2)+^/3E
•e(w),
или
2
Фг = 2 (Иог-Е + HxrF + H2rF2) ¦ • е (w) - 2 Е H,vrFjV--e(w) (4)
A -0
(суммирование по значениям N - 0, 1, 2, F° Е). Коэффициенты Наг
определяются "по формулам
дг|:г дфг дфг ЭЦ)Г
^0Г_=7*'*7Г> =^7Г + 711Щ-'
и структура зависимости Наг от фг та же, что фг от э; по формулам (3,5)
Фат выражаются через вторые производные э по инвариантам. При этом
обнаруживается симметричность этих коэффициентов по индексам N, Г
Наг = Ига, N, Г -0, 1, 2. (6)
После подстановки в (2) приходим к представлению Т
Т = - TV-w-fVwT-T + T-Vw + 4 |/-|у[-фое("0 + ФаР-e(w)• F]+
+ SSWrF"-.e(w). (7)
Г А
114 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
Очевидно, что тензор Т симметричен. Окажется далее целесообразным ввести
в рассмотрение тензор
В Т ¦ Vw + 4 ]/ у [- Фое (w) + i^F ¦ е (w) • F] +
+ 22^rFrF'v--e(w), (8)
Г N
так что
ITV.w + VwT-T + 0. (9)
Конвективная производная тензора Пиола вычисляется те-
перь по (2.6.2) и (1.10.8)
Р-( ]/ у VH-t)' = ( уГ-|)'vrT-T+ У | (VrT)--T +
+ |/у VrT Т = У у VrT- (TV • w - VwT- T-f Т)
и no (9)
P=]/- VrT-B. (10)
Оказалось, что P связан с тензором 0 тем же соотношением, что и Р с Т.
§ 6. Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии
Основываясь на уравнении статики (2.6.4) для тензора Пиола, мы избегнем
затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации.
Имеем
V- (Р + цР) + р0к + "ПРо^х = 0> V - Р p0k -j- т) (V - Р -f- р0кх) = 0.
Через кх обозначена вариация массовой силы. Считая актуальную
конфигурацию равновесной, приходим к уравнению равновесия в варьированном
состоянии
V • Р + р0кх = 0 (1)
в векторном базисе отсчетной конфигурации. По (5.10) оно преобразуется в
базис актуальной конфигурации на основании (II 1.3.11) и тождества Пиола
