Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
о
Здесь cs - контравариантные компоненты с в векторном базисе отсчетной
конфигурации.
В качестве материальных координат qs выбраны декартовы координаты с
базисом с1( с2, с3.
§ 3. Уравнения состояния упругого изотропного материала
Разнообразие имеющихся в литературе форм уравнений состояния объясняется
возможностью выбора различных мер деформации и использования отличающихся
друг от друга определений тензора напряжений.
Потенциальная энергия деформации представляется функцией инвариантов
(относительно полной ортогональной группы) выбранной меры деформации.
Отсчетной конфигурацией является неискаженное состояние; по (3.5.11)
напряженное состояние в ней представляется шаровым тензором, описывающим
равномерное во всех направлениях сжатие или растяжение; в частности оно
может отсутствовать, если отсчетная конфигурация - натуральная.
Преобразование подобия натуральной конфигурации приводит к новой
отсчетной неискаженной конфигурации, но уже не являющейся натуральной.
Далее э задается, как функция инвариантов меры деформации Коши -Грина
или, что то же самое, меры Фингера, определяемых формулами (1.5.8)
Эй
~дГ СС дМ (СС' ^ ^'СС) ^
дэ
и уравнение состояния (1.8) приводится к виду
д, U U д U U
+ -?c^R,Rft + |iC^(R,RA-F + F.RftR,) . (7)
9 = э(1АО), /а(G), /.(G)), MG) = /*(F). (1)
108 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
В другом представлении используются инварианты меры Аль-манзи g (или G'1)
3 = 3(/1(g), /2(g). /3(g)), Mg) -MG'1). (2)
Они связаны с инвариантами Ik(G) формулами (1.5.8).
Потенциальная энергия деформации определена с точностью до аддитивной
постоянной и может быть принята равной нулю в отсчетной конфигурации
9 = 9{h( Е), /я (Е), I з (Е)) = э (3, 3, 1) = 0. (3)
Уравнение состояния изотропного упругого тела в форме Фингера следует из
(!), (1.8) и формул дифференцирования инвариантов (II.3.3)
Т = 2 ]/-§- (гр0Е + + tpaF*) = 2 )/F-^f . (4)
Здесь введены обозначения функций от инвариантов 1к (F)
. , дэ j дэ . дэ . дэ /г.
37п' ^~
Это представление следует предпочесть (3.5.9), так как выражение тензора
V через вектор места R весьма сложно. Напомним, что формула (3.5.8) была
получена вне всякой связи с потенциальной энергией деформации, для
"упругого", не обязательно "гиперупругого" материала. Конечно, повторив
ход вывода уравнения (3.5.8), можно прийти и к формуле (4) для "упругого"
материала. Но в гиперупругом материале функции фг связаны
дифференциальными соотношениями •
-щ + / А) = - §7? . ^ + 1 ^ - 1/Г '
3 di., ~ а/, ' w
получаемыми исключением потенциала э из формул (5), аналогично (II.7.18).
Представление уравнения состояния через меру Альманзи можно, конечно,
получить по (II.3.7), (1.9), (2)
Т=2|/|F.9f = -2 /
Получаем
Т=2 (ф0Е + -f ф^2) (7)
§3]
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
109
г, дэ
и в соответствии с (5)
-(ж+,'ж)- "-?' "-''torn
Конечно, фг связаны дифференциальными соотношениями вида (6).
Главные направления тензоров Т и F совпадают, как это следует из
уравнения состояния (4). Их главные значения связаны соотношениями
2 V ¦§¦ =vf
г=о
(9)
(fe=l, 2, 3).
Здесь ak-главные напряжения и по (1.4.10), (1.5.7)
vl = Gk = Fk^(\ + bky
(10)
- главные значения меры деформации Фингера и Коши - Грина. Коэффициенты
фг также выражаются через vf, v\, v\ при посредстве инвариантов
/i(F)=t)? + yl + t)l, I2(F) = vlvl + vtvt + vlvl Is(F)=vlvlvl (11)
Главные силы, определяемые по (2.2.25), задаются формулами
и
тГЪ п -
. СТЬ ; CTft,
и по (9)
tt - 2t"j
f а = 2п2
in 2 tn
Vk vk
ti = V2v3a1, t2 = v3v1a2, t3= v1v2o3
(12)
дэ , / i дэ , _.2y 2 ^
-n: + (vl + v!)1j7 + vlvt
-^+m^4h+vlvl^i
^ + (v! + vf)^
-viv,
дэ
wT
LU2 dJ3
^t(vlt v2, v3), - t (P2> t"8. n)>
= / (У;; , I'I , n2)
(13)
или в другой записи tb - 2v
-+(h~^^- + IsVk2 -
dl
a/"
(14)
Рассматривая теперь э, как функцию переменных ий, имеем
a/f
а/.
а/я
ПО ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
, ОЭ ОЭ ,1С,
= = <16>
Сравнение с (14) приводит к формулам
дз дэ
Ч ~~~дд/г
Можно было предвидеть этот простой результат; действительно, элементарная
работа б'аг=бэ сил tk, распределенных по граням кубика с ребрами ufe--l-
)-8ft, параллельным главным направлениям меры Фингера, на виртуальном
перемещении bvh = = 6(l-f-6ft) граней из актуальной конфигурации равна
6э = Е = Е t"&vk,
k=\ к k=i
откуда сразу же следует (16).
Представление тензора Пиола в изотропном упругом теле по его определению
(2.6.2) и определению мер деформации (1.4.4), (1.5.3) приводится к виду
Р = 2VrT- (ф0Е + %F + r|)2F2) = 2 (i|)0VrT-pr|)1VrT- VRT- VR +
+ o|)3VrT- VRT- VRi VRT - VR) = 2 (ф0 VrT + ^VR + tp,GVR),
или
P = 2(^0G-1 + rl>1E + 3|)2G)-VR. (17)
Заменив здесь G_1 с помощью тождества Гамильтона-Кэли (1.9.22), приходим
к еще одному представлению
P = 2^0E + <p1G+<p2G2).YR (18)
с коэффициентами
дэ . г дэ , . дэ ( дэ . г дэ \ дз
Фо~ dh + 2а7Г' ф1"~ \р77+ 1 а77/' Ч>2=='Ш7'
(19)
Представлениям энергетического тензора по (2.6.11) придается вид
